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《广西师范大学》 2000年
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奇异线性模型中最小二乘估计的相对效率

王洁  
【摘要】: 线性模型中参数的相对效率是近年来讨论较多的一个问题。在线性模型的参数的估计类中,比较常见的有两种,一种称为参数的最佳线性无偏估计,另一种称为参数的最小二乘估计,由于模型误差的协方差阵在求逆时计算量大或协方差阵未知等原因,往往使用最小二乘估计代替最佳线性无偏估计,但由此将给估计精度带来一定的损失。相对效率:就是度量这种损失的一种重要方法。许多文献在一般GaussMarkov模型中讨论了参数的相对效率及其相应的性质。本文在奇异线性模型下讨论了相对效率的下界及其与广义相关系数的联系等问题。 考虑模型 )/二X夕+[, 刀([)二0。 Coy([)二口’∑ (1)这里y为nx l的观察向量, X为nxp的设计阵,且,(X)二,主p, p为px 1的未知参数向量,‘为n x 1的随机误差向量,o-’也是未知参数,∑为非负定协方差阵且其秩为r(∑)二J三n 。 由最小二乘统一理论,得9的最佳线性无偏估计夕·二(X'T~X)’X,r÷r,其中4’是矩阵止的Moore-penrose广义逆, 丁二∑士X'UX,本文中取y二A/.A0,且满足7,(r):r(∑:X)。其协方差阵为Coy(9’)二(又,了’X)’X,r+ET+X(X'T+X)’·o。’。而9的最小二乘无偏估计为万二(X,X)’又’r。其协方差阵为Coy(万)二(X,上-)’X‘∑X(上,’土,)‘·口:。由GaussMarkov定理知 Cov(夕)主Coy(9’)在实际应用中较常见的情形是∑未知或者不够清楚,因此常用最小二乘估计彦来代替犀’.但由此将给估计精度带来一些损失。度量这种损失的一种重要方法是相对效率。我们引入了以下几种最小二乘估计与最优线性无偏估计的相对效率,即 f1‘蓟’侣鬻珊 ‘:‘廓’祟裳珊 。一、2卜O川尸 川厂 E:l =。 IIUOv尸-)F 其中卜【I表示A的全部非零特征根的乘积,如果A的特征根全为0;则规定I叫【=0,IWI 称为A的广义行列式;入八山表示矩阵A的最大特征根,I卜I【厂表示矩阵在的*ucbd范数· 我们的主要结果是 定理3二 对于模型叫,若八X)〔…二),有 ,I_4入入__i。11 一旧)ZIDI7二二一二二二7】 ‘”’一 卜士〔入+人*;.)“I 这里人三入三…仙>0为丁的非零特征根,。>卜。 关于相对效率与广义稚关系数的联系,我们在特殊情形下得到了如下的结论c 定理3.2在模型山下;当X为列满秩阵,口非奇异时,若。>2尸,则 。1。上4入工。_;。。 门)e。伯)>11 一二二一二二二二7 m 勺旧)=,。际广) 这里入三…三仙>0为二的诗征根,,扒 广)为H毗*叩广义相关系数。 相对效率幻污)对设计矩阵X的依赖较弱,为提高相对效率对设计阵的依赖性引入另一种 相对效率;并与广义相关系数建立联系。即 定理4.1 在模型(1\下有 /。。AL·p,。6:’·}:’Al·pr·A;’ e,(dl>-----=--- -‘—’一 儿(二沾二‘人。(二) 定理4.2在模型厂5下,当X为列满秩阵且二非奇异时有 一旧)三,厂)(g、卢“) 其中/厉.广)为张尧庭定义的一种广义相关系数. 关于相对效率。间的下界及其与广义相关系数的联系,我们有 定理5.1 在模型叫下有 r C一2〔一二气唾2、一毛I“’- JZ\-!”了一I斗1”1”汗区一甲斗:歹‘”7一:【 e3(厂)三 工W J 与前面相类似,也可建立一p)与广义相关系数之间的联系。 定理5.2在模型(1)下,当X为列满秩阵且二非奇异时有 。。仰>,。仔尸’) 2 关于三种相对效率之间的关系,我们有: 定理 6.ie。p)=1-rt e。仰=1== e。问=1
【学位授予单位】:广西师范大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2000
【分类号】:O212.1

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