广义G-集分次模与Smash Products

【摘要】： C．Nastasescu与F．Van Oystaeyen在Graded Ring Theory一书中，系统地介绍了群分次环和群分次模。两位作者在与S．Raianu合著的Modules Graded by G-sets一文中，将群分次模推广为G-集分次模，并在此基础上得出了一系列结果。 本文系统地对广义变换群进行了讨论；并利用广义变换群将群作用推广为广义群作用。在此基础上，将G-集分次模推广为广义G-集分次模。 本文还探讨了G-分次环、G-分次模与广义G-集的smash product的一些性质。 广义变换群是变换群概念的推广，第一章第一节探讨了一般变换(可以是非一一变换)构成群的条件，这一部分主要结果有： 定理1．1．6 对于集合S上的任一分类J，选定J的一个全体代表团T，则所有J到T上的双射导出变换构成的集合关于变换的合成构成一个群，记为G_1。 为了区别于变换群的概念，G_1及其子群称为广义变换群。 的合成构成一个群，是N必足广义变换群。 定理1．1．8 设G）t广义变换群，若G含有—一变换，则G只 含有—一变换：若G含有11。·变换，则G只含有非—一变换。 群 G在一个集合 Al川川I引］等价1’群 G到 AIL一个变换群的同 态。在第一章第二节中，找们利用广义变换群的概念将群作用摊广 为广义群作用，山此提出了）’－义G一集的概念。这部分的主要结果 是： 定理1．2．l 群G在集合S！：的一个广义群作用唯一决定G到S 上一个广义变换群的群同态。反过来，G到S上一个广义变换群的 同态唯一决定了 G在集合 S！丫 一个广义群作用。 设 G是一个群，R＝田叮。下是一个分次环，M＝田厌；；M。是 R 且的－个多次椭，则对W一E凡，罗刃罗可E从，其吕0，rE6哆 丫 、I＊r。几夯r。将G的乘法石成G在G上的作用，贝D千川这一思想 得到 G一集分次模的概念：令八是一个 G一集，M＝＄厌。M。是左 R 一模 M 的阿贝尔皿分解，若对 V a。A，。。G，及 Vn。。M，，二。R，有LIn。E／，则称M为一个G一集分次模。 本文第一章第三节利用厂－义肝作川］和广义G一集的概念将G一集分 次模椎广为广义G一集分次模，井初步探讨了广义G一集分次模范 畴的竹质。上要结采有： 引理1．3．1 令Mw尸。厅－p·，考虑左刀一模同态交换图： 11 3 MtaluN ’b＿i P—－ 其中，f。一，。。、。／M，川。抖。是厂－分次同态（或h是S－分次同 态），贝有 S－＊次同态尸W尸一，使 f＝gb’V＝g’h）。 定理1．3．3 考虑o－分次环R和一簇广义G一集…人厂则 范畴叮；S；卜。等价厂范购 n，k；－。＊ 推论1．3．4 设R＝＄爬；Ro是G一分次环，S是广义G一集， 则S一F·等价刁范畴 辽矿，·（小w）玉二！lx ＆遍G一集匡＊号 G一幻 迹的一个代表团。 任选 x。S，定义元素 e，＝卜”人、，其中，当 s＝xlll，nL－s（这 见 ng 为 形 乙 卜 肉 儿 紊），当s一x时，，，。。－O V多刃。Z丐砚）L乡苫e百二（y官多叮JU11，龟’i sc厂时，y孟二刃刃g号 了则 y丐二0口 ＊厂。＝Z厂二＊尸，规足11胃＝（恳·多＼，止土；I，当＊＊‘1以表示为J。小 。－is个k，式。t。。；rA3集I＊。；。。j。；x＝S）；g s ＋WOk 示为。的形式，｝，。＝O。规定元素的加法为对位相加］，山此， Re＋Ze、成为厂－义G一集引 nj5次模，记为牡）。 定理1．3．SV。＄。h川X）足厂－p的投射生成子。 11！ ＜ 定理1．3．6 设M。S－玖，则M在S－F里投射当且仅当M 是投射左R一模。 本文第二章探讨了 G分次环、G－分次模与 G－集gJ Sm8Sh produCt 的一些性质。主要结果有： 定理 2．l．2 范畴（G／11，R）－gr与 R＃G／H－mod是同构的。 定理2．2．9 设M。R－以，F是R－y 的一个子类，G／H是左 G一集，则有： ·＊）Tru（r）o（GIH）Tru．＊；厂（r（GIH））； b）Rej。0）。＃（GIH ） Rej。＊。，。饲（G／H D 定理2．2．且 ＊）和cM0（G／H） 彻c，M》（G／H）： b）J＊杉（G／H））J’w江（G／H）。 其中SOC叮＊）和J’（）分别是M的分次基座和分次根。