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广义G-集分次模与Smash Products

陈汝伟  
【摘要】: C.Nastasescu与F.Van Oystaeyen在Graded Ring Theory一书中,系统地介绍了群分次环和群分次模。两位作者在与S.Raianu合著的Modules Graded by G-sets一文中,将群分次模推广为G-集分次模,并在此基础上得出了一系列结果。 本文系统地对广义变换群进行了讨论;并利用广义变换群将群作用推广为广义群作用。在此基础上,将G-集分次模推广为广义G-集分次模。 本文还探讨了G-分次环、G-分次模与广义G-集的smash product的一些性质。 广义变换群是变换群概念的推广,第一章第一节探讨了一般变换(可以是非一一变换)构成群的条件,这一部分主要结果有: 定理1.1.6 对于集合S上的任一分类J,选定J的一个全体代表团T,则所有J到T上的双射导出变换构成的集合关于变换的合成构成一个群,记为G_1。 为了区别于变换群的概念,G_1及其子群称为广义变换群。 的合成构成一个群,是N必足广义变换群。 定理1.1.8 设G)t广义变换群,若G含有—一变换,则G只 含有—一变换:若G含有11。·变换,则G只含有非—一变换。 群 G在一个集合 Al川川I引]等价1’群 G到 AIL一个变换群的同 态。在第一章第二节中,找们利用广义变换群的概念将群作用摊广 为广义群作用,山此提出了)’-义G一集的概念。这部分的主要结果 是: 定理1.2.l 群G在集合S!:的一个广义群作用唯一决定G到S 上一个广义变换群的群同态。反过来,G到S上一个广义变换群的 同态唯一决定了 G在集合 S!丫 一个广义群作用。 设 G是一个群,R=田叮。下是一个分次环,M=田厌;;M。是 R 且的-个多次椭,则对W一E凡,罗刃罗可E从,其吕0,rE6哆 丫 、I*r。几夯r。将G的乘法石成G在G上的作用,贝D千川这一思想 得到 G一集分次模的概念:令八是一个 G一集,M=$厌。M。是左 R 一模 M 的阿贝尔皿分解,若对 V a。A,。。G,及 Vn。。M,,二。R,有LIn。E/,则称M为一个G一集分次模。 本文第一章第三节利用厂-义肝作川]和广义G一集的概念将G一集分 次模椎广为广义G一集分次模,井初步探讨了广义G一集分次模范 畴的竹质。上要结采有: 引理1.3.1 令Mw尸。厅-p·,考虑左刀一模同态交换图: 11 3 MtaluN ’b_i P—- 其中,f。一,。。、。/M,川。抖。是厂-分次同态(或h是S-分次同 态),贝有 S-*次同态尸W尸一,使 f=gb’V=g’h)。 定理1.3.3 考虑o-分次环R和一簇广义G一集…人厂则 范畴叮;S;卜。等价厂范购 n,k;-。* 推论1.3.4 设R=$爬;Ro是G一分次环,S是广义G一集, 则S一F·等价刁范畴 辽矿,·(小w)玉二!lx &遍G一集匡*号 G一幻 迹的一个代表团。 任选 x。S,定义元素 e,=卜”人、,其中,当 s=xlll,nL-s(这 见 ng 为 形 乙 卜 肉 儿 紊),当s一x时,,,。。-O V多刃。Z丐砚)L乡苫e百二(y官多叮JU11,龟’i sc厂时,y孟二刃刃g号 了则 y丐二0口 *厂。=Z厂二*尸,规足11胃=(恳·多\,止土;I,当**‘1以表示为J。小 。-is个k,式。t。。;rA3集I*。;。。j。;x=S);g s +WOk 示为。的形式,},。=O。规定元素的加法为对位相加],山此, Re+Ze、成为厂-义G一集引 nj5次模,记为牡)。 定理1.3.SV。$。h川X)足厂-p的投射生成子。 11! < 定理1.3.6 设M。S-玖,则M在S-F里投射当且仅当M 是投射左R一模。 本文第二章探讨了 G分次环、G-分次模与 G-集gJ Sm8Sh produCt 的一些性质。主要结果有: 定理 2.l.2 范畴(G/11,R)-gr与 R#G/H-mod是同构的。 定理2.2.9 设M。R-以,F是R-y 的一个子类,G/H是左 G一集,则有: ·*)Tru(r)o(GIH)Tru.*;厂(r(GIH)); b)Rej。0)。#(GIH ) Rej。*。,。饲(G/H D 定理2.2.且 *)和cM0(G/H) 彻c,M》(G/H): b)J*杉(G/H))J’w江(G/H)。 其中SOC叮*)和J’()分别是M的分次基座和分次根。


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