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阶段结构时滞扩散模型分析

李锋杰  
【摘要】: 在种群动力学的研究过程中,种群的持续生存问题一直倍受关注。为了使模型更加的实用和准确,越来越多的实际因素被考虑到模型中来,比如说,阶段结构(参见[1~10]),扩散(参见[10~15,27~30]),时滞(参见[14~18,31~40]),但是到目前为止,综合考虑诸上因素的模型还没有见到。 在本论文中,分别讨论了两类带有扩散和时滞的阶段结构捕食被捕食模型。在第一章中,讨论了在两个斑块环境下,每个斑块都含有捕食者的幼年和成年种群,且在其中一个斑块上存在另一个被捕食者种群;在第二章中,讨论了仅在一个斑块上含有捕食者的两阶段结构,而成年的捕食者可以在两个斑块之间扩散,且在没有幼年种群的斑块上,存在捕食者的明显的食饵。出于季节的影响,进而考虑了模型的周期和概周期的情况。 在本文中,首先对于这两类模型,分别考虑各种群的一致持久性;通过对独立子系统的讨论得到了,当系统是周期系统时,周期正解的存在唯一和全局吸引性,当系统是概周期系统时,正概周期解的存在性和一致渐近稳定的条件,并对上述两种情况分别给出了说明其可行性的数学例子。 在以上的证明中,考虑了系统的独立子系统,使问题更加简单,条件更加简捷,并且使用了比较原理、Liapunov泛函方法、Razumikhin函数法。 在第一章中,讨论如下模型:其中,x_i(t),y_i(t)分别表示t时刻捕食者在斑块i(i=1,2)中的幼年和成年种群的密度;z(t)表示在斑块1上被y_1(t)所捕食的种群;成年捕食者种群可以扩散,D_i(t)(i=1,2)表示它们的扩散率。 以某种生活在两个岛屿上的海鸟为例来说明本模型的生物意义,其成年海鸟的飞行能力强,可以在两个岛屿间飞行,而幼年海鸟不具有这种能力;其中一个岛屿有充足的鱼类资源,便成了它们扩散的最充分动力。而另外的岛屿,因为鱼类资源较贫乏,而忽略不计。 初始条件为 φ∈C~+,φ_i(s)>0,i=2,5,s∈[-τ,0];φ_i(0)>0,i=1,3,4. (1.2.2) 对任何定义在[0,+∞)上的有界连续函数ω(t),令。 为保证初值的连续性,设 x_i(0)=integral from -τ to 0(α_i(s)y_i(s)e~(-integral from (?) to 0 (γ_i(θ)dθ)ds),i=1,2.(1.2.3) 主要结果为 定理l.3.l如果系统(1.2.l)满足(l.2.3),则系统(.2.l)的解最终有界. 定理l.3.2如果(HI),人)和(H3)成立,其中 (H)t一6M25 > 0; (H)ue-”’”> DI一Rin3; (H。)aze””>DZ. 则系统(二.2*)是一致持久的. 考虑(1.2.及)的独立子系统 f.,.、。。、一I 卞1(a)da..、。。、、,、._..、.。、。、、。_..、 191厂J—ofu一川e“’一gin一丁)一厂l卜)忻u]十UI厂八VZ卜)一山U*十川【)91厂厂uJ, ILl41__141_I4\_I4\_2I41Dll\。111_111 IZ厂I二o3u厂厂I一h u乃“uI一们n91卜乃卜I, 【.I.、I.、一0 7】(日)d刃,、。,、D,、。_,。、. 【pZV1=*2厂一川e“’一 叨u 门一厂2卜川引U十UZ卜八DI厂I’92u川, 【WI LS),ZIS),pZ【S))”I一ZIS),…3IS),…5[S)),S EI一了,UI. (二.4.二) 定理 1.4二若(HI)~抑)成立,其中, (兄)ZPgu。+旦l一DZ一0一RM一了e-工”>0; (w2内m。+丛一页一欧-2”>0; (H6)73—RMS>0. 则。-周期系统(1.4J的每个正解是在 I。tR+全局吸弓l的· 定理二人2若(HI)~(&)成立,则。周期系统(二人.1)存在唯一全局吸引的正。周期解. 定理二*S若w卜(仇)成立,则。周期系统(且J.互)存在唯一全局吸引的正。周期解. 为方便起见,定义系统(二.2川的右端函数为F(t,if,yi。l,xZ,yZ). 定理二.5.1假设系统门.4二)满足(HI)~收)和(H7)~(Hg),其中, (&)2凡。。十凡一马一0一呐R—q了e-y>0; (W2内。+q一马一昨e工”>0; (m)>。h一Rm。ma—qsq-2”>0,(q>l为常数) 则系统门.4l)存在一个一致渐近稳定的正概周期僻p(t),且满足 ined…l)C lod(FI).进而,若系统 (二A.二)是。周期系统,则(二.4.1)存在一个正的。周期解. 定理二石.2假设系统(1.2.二)满足出卜抑)和(H7)一(Hg),则方程(二.2.1)存在一个一致渐近 稳定的概周期解p(t).如果(1.2*)是关于t的。周期系统,则(1.2*)也相应的存在。周期解.


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