阶段结构时滞扩散模型分析

【摘要】： 在种群动力学的研究过程中，种群的持续生存问题一直倍受关注。为了使模型更加的实用和准确，越来越多的实际因素被考虑到模型中来，比如说，阶段结构(参见[1～10])，扩散(参见[10～15，27～30])，时滞(参见[14～18，31～40])，但是到目前为止，综合考虑诸上因素的模型还没有见到。 在本论文中，分别讨论了两类带有扩散和时滞的阶段结构捕食被捕食模型。在第一章中，讨论了在两个斑块环境下，每个斑块都含有捕食者的幼年和成年种群，且在其中一个斑块上存在另一个被捕食者种群；在第二章中，讨论了仅在一个斑块上含有捕食者的两阶段结构，而成年的捕食者可以在两个斑块之间扩散，且在没有幼年种群的斑块上，存在捕食者的明显的食饵。出于季节的影响，进而考虑了模型的周期和概周期的情况。 在本文中，首先对于这两类模型，分别考虑各种群的一致持久性；通过对独立子系统的讨论得到了，当系统是周期系统时，周期正解的存在唯一和全局吸引性，当系统是概周期系统时，正概周期解的存在性和一致渐近稳定的条件，并对上述两种情况分别给出了说明其可行性的数学例子。 在以上的证明中，考虑了系统的独立子系统，使问题更加简单，条件更加简捷，并且使用了比较原理、Liapunov泛函方法、Razumikhin函数法。 在第一章中，讨论如下模型：其中，x_i(t)，y_i(t)分别表示t时刻捕食者在斑块i(i=1，2)中的幼年和成年种群的密度；z(t)表示在斑块1上被y_1(t)所捕食的种群；成年捕食者种群可以扩散，D_i(t)(i=1，2)表示它们的扩散率。 以某种生活在两个岛屿上的海鸟为例来说明本模型的生物意义，其成年海鸟的飞行能力强，可以在两个岛屿间飞行，而幼年海鸟不具有这种能力；其中一个岛屿有充足的鱼类资源，便成了它们扩散的最充分动力。而另外的岛屿，因为鱼类资源较贫乏，而忽略不计。 初始条件为 φ∈C~+，φ_i(s)＞0，i=2，5，s∈[-τ，0]；φ_i(0)＞0，i=1，3，4． (1．2．2) 对任何定义在[0，+∞)上的有界连续函数ω(t)，令。 为保证初值的连续性，设 x_i(0)=integral from -τ to 0(α_i(s)y_i(s)e~(-integral from (?) to 0 (γ_i(θ)dθ)ds)，i=1，2．(1．2．3) 主要结果为 定理l．3．l如果系统（1．2．l）满足（l．2．3），则系统（．2．l）的解最终有界． 定理l．3．2如果（HI），人）和（H3）成立，其中 （H）t一6M25 ＞ 0； （H）ue－”’”＞ DI一Rin3； （H。）aze””＞DZ． 则系统（二．2＊）是一致持久的． 考虑（1．2．及）的独立子系统 f．，．、。。、一I 卞1（a）da．．、。。、、，、．＿．．、．。、。、、。＿．．、 191厂J—ofu一川e“’一gin一丁）一厂l卜）忻u］十UI厂八VZ卜）一山U＊十川【）91厂厂uJ， ILl41＿＿141＿I4＼＿I4＼＿2I41Dll＼。111＿111 IZ厂I二o3u厂厂I一h u乃“uI一们n91卜乃卜I， 【．I．、I．、一0 7】（日）d刃，、。，、D，、。＿，。、． 【pZV1＝＊2厂一川e“’一 叨u 门一厂2卜川引U十UZ卜八DI厂I’92u川， 【WI LS），ZIS），pZ【S））”I一ZIS），…3IS），…5［S）），S EI一了，UI． （二．4．二） 定理 1．4二若（HI）～抑）成立，其中， （兄）ZPgu。＋旦l一DZ一0一RM一了e－工”＞0； （w2内m。＋丛一页一欧－2”＞0； （H6）73—RMS＞0． 则。－周期系统（1．4J的每个正解是在 I。tR＋全局吸弓l的· 定理二人2若（HI）～（＆）成立，则。周期系统（二人．1）存在唯一全局吸引的正。周期解． 定理二＊S若w卜（仇）成立，则。周期系统（且J．互）存在唯一全局吸引的正。周期解． 为方便起见，定义系统（二．2川的右端函数为F（t，if，yi。l，xZ，yZ）． 定理二．5．1假设系统门．4二）满足（HI）～收）和（H7）～（Hg），其中， （＆）2凡。。十凡一马一0一呐R—q了e－y＞0； （W2内。＋q一马一昨e工”＞0； （m）＞。h一Rm。ma—qsq－2”＞0，（q＞l为常数） 则系统门．4l）存在一个一致渐近稳定的正概周期僻p（t），且满足 ined…l）C lod（FI）．进而，若系统 （二A．二）是。周期系统，则（二．4．1）存在一个正的。周期解． 定理二石．2假设系统（1．2．二）满足出卜抑）和（H7）一（Hg），则方程（二．2．1）存在一个一致渐近 稳定的概周期解p（t）．如果（1．2＊）是关于t的。周期系统，则（1．2＊）也相应的存在。周期解．