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相依样本下一类统计泛函的经验似然置信区间

姜波  
【摘要】:似然函数是统计学中最重要的工具之一,它通常要求已知总体分布的类型,总体分布只依赖于若干个未知参数,当我们对问题的背景所知甚少,仅仅知道一些附加信息(如总体的一阶矩,二阶矩),以至于不能对总体分布类型作出假定,这时便无法使用似然函数,Owen引入经验似然,它是一种非参数推断方法,最早是由Owen引进构造置信区间,随后一些学者讨论它与参数似然的比较,与经验鞍点估计的比较,并应用于光滑函数模型,线性模型,半参数模型,讨厌参数,回归函数,密度核估计,有偏样本等情况中,但所有这些都是在样本独立同分布的情况下加以讨论的,对于相依样本,情况变得比较复杂,本文主要讨论了相依样本下一类统计泛函的经验似然置信区间. 这里仅仅给出似然比统计量的极限分布,进而可构造有意义参数的经验似然置信区间. 一.M-泛函的经验似然比统计量的极限分布. M-泛函定义 M-泛函定义: 都为强平稳 混合(见文献[5]中定义)的随机变量,分布函数为F,M-泛函 定义为下面方程的根: (1.1.1) 不带附加信息时的经验似然比统计量 由 在约束条件下, 则经验似然比统计量为 (1.1.2) 其中 满足 (1.1.3) 含附加信息时的经验似然比统计量 附加信息为: (1.1.4) 令 h(x, )=(g'(x), (x, ))' ,易知 由Zhang(1997)知经验似然比统计量为: (1.1.5) WP=5 其中 满足: (1.1.6) 满足: (1.1.7) 第一个结果是 定理1.1 假设 满足(1.1.1)式,存在且唯一, 关于 x 可测, ,进一步假设 有限且非0, 在 点关于 x 一致连续, 在 连续, 在 邻域内, 对于正数d ,常数 ,有 由于 A 未知,所以此结论并不理想,需要对它改进,去掉其中的参数,为此进行如下分组 令 则分组后经验似然比统计量的极限分布为 其中 定理1.2假设 满足(1.1.1)式,存在且唯一, 关于 x 可测, ,进一步假设 有限且非0, 在 点关于 x 一致连续, 在 连续, 在 邻域内, 对于正数d , WP=6 常数 ,有 其中 . 由于我们不知道 A ,所以使用分组经验似然来克服一般经验似然之不足,令 则似然比统计量为 (1.2.1) 其中 满足 (1.2.2) 满足 (1.2.3) 定理1.3 假设同定理1.2,则分组后的经验似然比统计量的极限分布 其中 二.密度函数及非参数回归函数的经验似然比统计量的极限分布. 令 是具有总体密度为 f 的随机样本,对固定的 ,令 是强平稳 - 混合随机样本,令 是 维强平稳 - 混合随机样本, ,具有密度 f(x), ,令 ,通过经 WP=7 验似然方法建立 的置信区间. 下面给出一些预备条件 对于 ,用 表示 的概率密度函数,对于某个 ,常数 , (2.2.1) (1) K 有界,有紧支撑,满足(2.2.1)式, (2) f 在 x 的邻域内有 r 阶连续的偏数且 f(x)0 , (3) 当 时. (2.2.2) 记 (1') K 为 d 维核,有界且有紧支撑,满足(2.2.2)式, (2') 当 时, (3')存在 ,使得 在 x 的邻域内有 r 阶连续有界偏导数,且 f(x)0. 令 则密度函数的经验似然比统计量(见Chen(1996)) , 其中 满足 (2.2.3) 定义 WP=8 则非参数回归函数的经验似然比统计量(见Chen(2003)) 其中 满足 (2.2.4) 第一个结果是 定理2.1 设条件(1)-(3)满足,则当 时, (2.3.1) 第二个结果是 定理2.2 设条件(1')-(3')满足,则当 时, (2.3.2) 三.相依误差情形下线性模型回归系数的经验似然比统计量的极限分布. 考虑下面的线性模型 , (3.1.1) 其中 是非随机向量, 是一未知的回归系数, 是应变量, 是不可观测的随机误差。令 是向量, 是相应的观测值, 是随机误差。我们假设 是m相依的(参看[15]中m相依随机变量的定义),我们的目的是构造 的经验似然置信区间,在这里,我们假设 对于 我们用 表示 第l个分量, 表示 的 模,对于任意的矩阵A,用 表示A的第k行第l列元素,在这里,我们使用分组经验似然构造回归系数 的置信区间. 首先我们考虑 的一般的经验似然比统计量 令 ,与Owen [3]类似,(对数)经验似然统计量为 (3.2.1) 这里 满足 (3.2.2) WP=9 需要一些假设 假设A.假设下面的条


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