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集值变分不等式解的存在性

刘翔  
【摘要】: 本文主要研究集值映射的变分不等式解的存在性问题.我们给出求解变分不等式的两种迭代算法并且得到了这些算法的收敛性结果.另一方面,我们证明了集值映射零点的存在性与变分不等式可解性是等价的结论,因此我们只需在适当的条件下研究集值映射零点的存在性即可.本文具体安排如下: 第一章简要介绍了变分不等式迭代算法与集值映射零点存在性的历史背景与发展情况.此外还介绍了本文需要用到的一些基本概念和结论. 第二章我们首先介绍了Banach空间中的广义f-投影算子及两种迭代算法. 算法2.2.1设任意一个点X_0∈B,定义一个序列{Xn)满足下列的迭代格式: 其中{α_n}满足条件:(a)0≤α_n≤1其中n=0,1,2,…;(b)算法2.2.3设任意一个点x_0∈B,定义一个序列{X_n}满足下列的迭代格式: 其中{α_n}满足条件:(a)0≤αn≤1其中n=0,1,2,…;(b) 其次,我们分别利用以上两种迭代算法得到了Banach空间中非紧子集上广义变分不等式GVI(K,T,f)解的存在性.主要结论如下: 定理2.2.1设B为一致凸与一致光滑的Banach空间:K是B的闭凸子集且0∈K.f:K→R为凸下半连续泛函.T:K→2~B~*是上半连续闭凸值映射;设存在一正数β,使得J-βT:K→2B~*是紧映射.并且 (1)对任意的x∈K,都有f(x)≥0且f(0)=0; (2)对任意的X∈K,及任意的u∈T_x, 设序列{X_n}满足迭代算法2.2.1.则变分不等式GVI(K,T,f)存在解x~*∈K并且存在{X_n)的子序列{X_ni)使得当时,X_ni→X~*. 定理2.2.3设B为一致凸与一致光滑的Banach空间;K是B的闭凸子集且0∈K.f:K→R为凸下半连续泛函,对任意的X∈K,都有f(x)≥0且f(0)=0.T:K→2~B~*是上半连续闭凸值映射;设存在一正数β,使得对任意的x∈K及任意的u∈T_x,有且J—βT:K→2~B~*是紧映射. 令Ω是变分不等式GVI(K,T,f)的解集,若对任意的X∈K,及任意的u∈T_x,y∈Ω.则变分不等式GVI(K,T,f)存在解X~*∈K并且由算法2.2.1.所定义的序列{X_n}收敛到X~*∈K. 定理2.2.4设B为一致凸与一致光滑的Banach空间:K是B的闭凸子集且0∈K.f:K→R为凸下半连续泛函.T:K→2~B~*是上半连续闭凸值映射;设存在一正数β,使得J-βT:K→2~B~*是紧映射.并且 (1)对任意的X∈K,都有f(x)≥0且f(o)=0; (2)对任意的x∈K,及任意的u∈T_x, 设序列{x_n)满足迭代算法2.2.3.则变分不等式GVI(K,T,f)存在解x~*∈K并且存在{X_n}的子序列{x_ni}.使得当i→时,X_ni→X~*. 定理2.2.5设B为一致凸与一致光滑的Banach空间;K是B的闭凸子集.且0∈K.f:K→R为凸下半连续泛函,对任意的x∈K,都有f(x)≥0且f(0)=0.T:K→2~B~*是上半连续闭凸值映射;设存在一正数β,使得对任意的x∈K及任意的u∈T_x,有且J-βT:K→2~B~*是紧映射. 令Ω是变分不等式GVI(K,T,f)的解集,若对任意的x∈K,及任意的u∈T_x,可∈Ω.则变分不等式GVI(K,T,f)存在解x~*∈K并且由算法2.2.3所定义的序列{x_n}收敛到X~*∈K. 本文所获结论把之前的结论由单值变分不等式推广到集值变分不等式,并且在不需要泛函f满足正齐次的条件下,把相关结论从Banach空间紧子集推广到非紧子集.最后在Hilbert空间中我们也得到相应的结论. 第三章,我们证明了集值映射零点的存在性与变分不等式可解性是等价的结果. 定理3.2.2设B是严格凸与光滑的自反Banach空间.K是B的非空闭凸子集,T:K→2~B~*为集值映射.若对所有x∈K及所有u∈T_z满足J~(-1)(J_x-u) K时,有成立.则x_0∈T-10的充要条件是x_o是变分不等式VI(T,K)的解. 利用定理3.2.2,我们得到拟单调集值映射的零点的存在性定理,此条件弱于通常所知的零点存在条件. 定理3.2.3设B是严格凸与光滑的自反Banach空间.K是B的非空闭凸子集,T:K→2~B~*为拟单调线段弱*上半连续集值映射,并且T是闭凸弱*紧值,满足下列强制条件:存在p0,对任意的x∈K\B(O,ρ),存在y∈K且,使得对任意的x~*∈T(x)都有若对所有的x∈K及所有u∈T_x满足J-(-1)(Jx-u) K时,有成立.则T~(-1)0≠0. 进一步,我们还得到Hilbert空间中的广义内映射的不动点定理.


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