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求解集值伪单调变分不等式的算法研究

罗海娟  
【摘要】: 变分不等式理论及其应用是非线性分析中的重要组成部分.它在金融、经济、交通、最优化、算子研究以及工程科学等领域有着广泛的应用.其中,求解变分不等式问题是变分不等式理论研究的一个重要方向.最近几十年,许多学者利用各种算法对变分不等式的求解问题进行了广泛且深入的研究.Tikhonov正则化方法和邻近点算法是两种很重要的求解变分不等式的算法.本论文主要研究利用Tikhonov正则化方法和邻近点算法求解伪单调集值广义变分不等式和伪单调集值混合变分不等式,分析了变分不等式的可解性及其在可解条件下两种算法的收敛性.本文内容具体安排如下: 第一章,我们主要对该领域的研究工作做简要的回顾.此外还介绍了本文主要用到的一些基本概念和引理. 第二章,设H为一实的Hilbert空间,K(?)H是一非空闭凸集,F:H→2H是伪单调映射.我们考虑如下广义变分不等式问题,记为GVI(K,F):找到x∈K和x*∈F(x),使得我们将此问题转化为求解伪单调算子的零点问题.即求解集值方程0∈T(x),其中T:H→2H是伪单调映射,表示成T(x)= F(x)+NK(x).本章中,我们利用了两种广义邻近点算法对伪单调算子T的零点问题加以研究,从而得到GVI(K,F)的解集.目前尚未发现有文献利用这两种算法对伪单调算子的零点问题加以研究过.本章利用的算法和所得的主要结论如下: 算法2.1.1 步一.取z0∈H为初始值; 步二.对于给定的zx,(1-γk)∈[γ,∞)(γ0)和ck∈[c,+∞)(c0),求zk+1,ek满足其中ek表示误差,满足其中 定理2.2.1序列{zk}由算法2.1.1迭代生成.p∈S其中S为T的所有零点所组成的集合,并且△=suPk≥0(1-γk)≤2.则{zk}弱收敛到T的一个零点. 算法2.1.2 步一.取z0∈H为初始值; 步二.对于给定的zk,γk∈(0,1)和ck∈[c,+∞)(c0),求zk+1,ek满足其中ek表示误差,满足 定理2.3.1序列{zk}由算法2.1.2迭代生成,假设其中S为T的所有零点所组成的集合.则{zk}弱收敛到S中的一点. 第三章,我们在一实的Hilbert空间中,利用Tikhonov正则化方法(TRM)和邻近点算法(PPA)去研究集值伪单调混合变分不等式(简记为MVI(K,F,(?))):设H为一实的Hilbert空间,K(?)H是一非空闭凸集,找向量使得其中φ为凸函数,F相对φ伪单调,在文[33]中利用TRM和PPA研究了伪单调广义变分不等式,建立了可解条件并且分析了算法的收敛性,最后对用邻近点算法求解伪单调混合变分不等式做出一些评论但没有给出收敛性定理.我们参考了该文的结论,利用TRM和PPA对伪单调混合变分不等式进行了研究,建立了可解条件并得到算法的收敛性定理.本章的算法和主要结论如下: 算法3.1.1 步一.给定正实数列满足εk→0,k→∞,解变分不等式 步二.若(?)x(εk+1)-x(εk)(?)≤θ(θ为一常数),停止; 步三.令k=k+1转入步一. 定理3.3.1假设F:K→2H相对于φ伪单调且在K上上半连续.若解集s(K,F,φ)非空且x为解集中范数最小的元素,则有下面的结论: (i)对(?)ε0,若Fε相对于φ在K上伪单调,那么S(K,Fε,φ)非空; (ii)对(?)ε0,集合S(K,Fε,φ)一致有界,并且有 (iii)若F在K上上半连续,序列{x(ε)}中任何弱收敛子列弱收敛到x. 定理3.3.2假设K(?)Rn为非空闭凸集,F:K→+2Rn相对于φ伪单调且在K上上半连续,若MVI(K,F,φ)有解,则 (i)(?)ε0,若Fε相对于φ伪单调,有S(K,Fε,(?))非空且紧; (ii)序列{x(εk)}收敛到S(K,F,φ)中范数最小的那个元素,其中x(ε)为S(K,Fε,φ)中的任一向量; (iii)limε→0+diam S(K,Fε,(?))=0,diamΩ:=sup{(?)x-y(?):x∈Ω,y∈Ω}表示集合Ω∈Rn的直径. 定理3.3.3假设F:K→2H是单调且相对于φ伪单调,并且在K上上半连续,若S(K,Fφ)非空助是其中范数最小的元素,则当Fε相对于φ伪单调时,{x(ε)}收敛于x,ε→0+,其中x(ε)表示解集S(K,Fε,φ)中唯一的元素. 算法3.1.2 步一.取x0∈H为初始值; 步二.对于给定的xk-1和{βk}k∈N,βk≥β0其中β为常数,找出向量xk∈K和xk*∈Fk(x),Fk(x)=βkF(x)+x-xk-1,x∈K满足 步三.若‖xk-xk-1‖≤θ(θ为一常数),停止; 步四.令k=k+1转入步二. 算法3.1.3 步一.取z0=x0∈H为初始值; 步二.对于给定的向量zk-1和序列{βk)k∈N,βk≥β0其中β为常数.序列{εk}k∈N}满足εk≥0且找到向量zk∈K满足其中(?)(k)(x)=βkF(x)+x-zk-1,S(K,(?)(k),βk(?))表示变分不等式βkx*+x-zk-1,y-x+ (?)(y)-(?)(x)≥0,(?)y∈H的解集.dist(zk,S(K,(?)(k),βk(?)))表示zk与解集S(K,(?)(k),βk(?))之间的距离; 步三.若(?)zk-zk-1(?)≤θ(θ为一常数),停止; 步四.令k=k+1转入步二. 定理3.4.1假设F:K→2H相对于φ伪单调.x0∈H且{xk}是由算法(3.1.2)迭代生成,则对任意的x∈S(K,F,φ),有 定理3.4.2假设F:K→2H相对于φ伪单调且在K上上半连续非空,x0∈H为给定的向量,{zk}.由算法3.1.3迭代产生的序列,则有下面的结论: (i){zk}为有界序列,且 (ii)存在z∈S(K,F,φ)和r∈[0,+∞)满足并且有zk→z.


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