不动点指数方法研究变分不等式非零解的存在性

【摘要】： 变分不等式理论是非线性分析的一个重要分支,它在力学、微分方程、经济数学、运筹学、优化与控制理论、非线性规划等理论和应用学科都有着广泛的应用.变分不等式的非零解的存在性是变分不等式理论研究的一个重要方向.近年来,许多学者对变分不等式的非零解进行了广泛研究.本文中我们主要研究一类单值变分不等式和一类双线性变分不等式的非零解的存在性.本文具体安排如下： 第一章,我们简要介绍了变分不等式的背景和研究现状.此外,还介绍了本文需要用到的一些基本概念. 第二章,我们主要研究了自反Banach空间中如下单值变分不等式非零解的存在性：找到x∈K,使得 我们将上述变分不等式问题转化为不动点的存在性问题,再利用Banach空间中广义投影算子的不动点指数得到如下主要结果： 定理2.3.2设X是光滑的,严格凸的自反Banach空间,K为X中的非空闭凸子集,且0∈K.假设A：K→X*是单值的全连续映射.如果以下条件成立： (a)对任意序列{xn}(?)K满足||xn||→+∞时,成立； (b)存在x0∈rcK＼{0}及0点的一个邻域V(0),使得对(?)x∈K∩V(0),有Ax,x0Jx,x0. 那么变分不等式(2.1.1)存在非零解. 定理2.3.3设X是光滑的,严格凸的自反Banach空间,K为X中的非空闭凸子集,且0∈K.假设A：K→X*是单值的全连续映射.如果以下条件成立： (a)对任意序列{xn}(?) K,||xn||→0,有成立； (b)存在x0∈rcK＼{0}和一常数ρ0,使得对所有的x∈K满足||x||ρ,有Ax,x0Jx,x0. 那么变分不等式(2.1.1)存在非零解. 应用定理2.3.2和定理2.3.3,我们得到了二阶半线性椭圆方程非零解存在性的结果. 第三章,我们主要研究了自反Banach空间中如下双线性变分不等式的非零解的存在性：找到u∈K,使得 我们主要将上述变分不等式问题转化为不动点的存在性问题,再利用Banach空间中紧映射的不动点指数得到如下主要结果： 定理3.3.1设X是实自反Banach空间,f∈X*,K为X中的非空闭凸子集且0∈K.假设g:K→X*为弱-强连续映射.若下列条件成立： (a)存在u0∈rcK＼{0},使得f,u00； (b)存在常数C0和α≥0,使得对充分大的||u||b, 那么双线性变分不等式(3.1.1)存在非零解. 定理3.3.2设X是实自反Banach空间,f∈X*,K为X中的非空闭凸子集且0∈K.假设g：K→X*为弱-强连续映射.若下列条件成立： (a)对任意序列{un}(?) K,有 (b)存在u0∈rcK＼{0}及零点的一个邻域V(0),使得对所有的u∈K∩V(0),有a(u,u0)+b(u,u0)g(u)+f,u0. 那么双线性变分不等式(3.1.1)存在非零解. 定理3.3.3设X是实自反Banach空间,f∈X*,K为X中的非空闭凸子集且0∈K.假设g：K→X*为弱-强连续映射.若下列条件成立： (a)对任意序列{un}(?) K,||un||→0,有 (b)存在u0∈rcK＼{0}与常数ρ0,使得对任意的u∈K,||u||ρ,有a(u,u0)+b(u,u0)g(u)+f,u0. 那么双线性变分不等式(3.1.1)存在非零解.