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非线性波动方程的全局吸引子

朱朝生  
【摘要】: 非线性Kirchhoff方程、Schr(?)dinger方程、Benjaznin-Bona-Mahony方程都是重要的波动方程。其中非线性Kirchhoff方程起源于对弹性细弦的微小振动的描述[54],非线性Schr(?)dinger方程是量子力学中的重要模型[40],而非线性Benjamin-Bona-Mahony方程则是描述非线性色散和耗散相互作用的长波传播模型[9]。有许多文献研究过这三类方程,并取得了一系列重要进展。尤其是对这三类方程初边值问题解的全局存在性及其渐近行为的研究取得了丰硕的成果[1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,14,15,16,17,18,28,29,30,33,48,49,50,59,61,64,65,70,71,72,73,74,75,77,78,81,82,83,84,85,95,96,97]。 从偏微分方程的定性研究来看,最关键的是要建立对定解问题的解对时间t大范围的一致先验估计[43]。因此,由发展方程定义的无穷维动力系统是研究偏微分方程的一个重要方面。本文的主要目的是在这方面作一些研究,即: (1)研究带三种不同边界条件的非线性Kirchhoff方程全局吸引子的存在性; (2)研究带非线性边界条件的Schr(?)dinger方程全局吸引子的存在性和正则性; (3)用调和分析方法研究R~1上Benjamin-Bona-Mahony方程全局吸引子的存在性。 全文共分六章。 第一章,引言,介绍无穷维动力系统的基本理论以及本文的主要结果。 第二、三、四章,分别研究带三种不同边界条件的Kirchhoff方程全局吸引子的存在性。目前,对齐次边界条件的发展方程定义的无穷维动力系统全局吸引子及相关问题已有全面完美的结果[7,19,20,21,31,32,34,35,36,37,38,39,41,42,43,44,45,46,47,53,56,57,58,62,67,76,79,86,87,88,89,90,91,92,93,94,98,99]。但是对非齐次边界条件的发展方程定义的无穷维动力系统全局吸引子及相关问题还有许多问题需要解决[22,23,24,25]。这正是我们研究带三种不同边界条件的Kirchhoff方程全局吸引子存在性的原因。众所周知,一个紧的全局吸引子存在当且仅当解算子半群有一个有界吸收集,且算子半群是渐近紧的[88]。我们在证明有界吸收集存在性的时候,遇到了第一个困难,即,非齐次边界条件。为了克服这个困难,我们采用能量扰动方法[100,66]和来自于[55]的技术。其次,对渐近紧性的证明,通常采用算子分解的方法把解算子分解成紧的和渐近小的两部分。然而,由于M(‖▽u‖~2)是非线性的,给我们的证明增加了困难。为了战胜这个困难,我们将采用一种不同于Papadopoulos,Stavrakakis[74,75,76]新的分解方法来证明渐近紧性。 具体来说,第二章,研究带非线性边界条件的Kirchhoff方程解和全局吸引子的存在性。我们分两种情况来讨论,即当M(‖▽u‖~2)≥m_0>0时,我们研究如下问题:当M(‖▽u‖~2)≥0时,我们研究如下问题: 第三章,研究如下带记忆边界条件的Kirchhoff方程全局吸引子的存在性: 第四章,研究边界带非线性耗散和记忆的Kirchhoff方程的全局吸引子的存在性。我们分别研究如下两个问题:和 第五章研究如下带非线性边界条件的Schr(?)dinger方程:我们将证明全局吸引子的存在性和正则性。大家知道,全局吸引子的存在性和正则性是无穷维动力系统研究的重要内容,例如,见[37,38,39,88,92]。在[38,39]作者分别证明了周期边界条件非线性Schr(?)dinger方程和Kdv方程的渐近光滑性。而Zhang[99]采用同样的方法处理了浅水波方程。本章我们采用Goubet[38,39]的方法来证明全局吸引子的存在性和正则性。 第六章研究无界区域R~1上耗散Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程:我们采用一种新的方法来证明全局吸引子的存在性,这种方法来源于调和分析。我们知道,当这个方程定义在有界区域上时,则存在有限维的全局吸引子[19,93,94]。然而当方程定义在无界区域上时,证明全局吸引子的存在性就有很大的困难,原因在于这时Sobolev嵌入不是紧的。目前,有三种方法解决这个问题:第一种方法是用能量方程证明弱渐近紧性等价于强渐近紧性;第二种方法是作算子分解,将解算子分解成紧和渐近小的两部分;第三种方法是利用截断函数或加权函数证明解对大空间和时间变量一致小。根据第三种方法,Stanislavova[86,87]提出了一种新的充分必要条件来验证定义在无界区域上发展方程的渐近光滑性,这种充分必要条件包含了Littlewood-Paley投影算子。本章我们将利用这个充分必要条件来证明全局吸引子在H~1(R~1)中存在,而且全局吸引子包含于H~(3/2-ε)(ε>0)。


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