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二次域Q(3~(1/3))的单位给出的两个递归数列中的形数问题研究

罗明  
【摘要】: 本文将对二次域Q ((3)~(1/2))中单位U_n + V_n3~(1/2) =(2+(3)~(1/2))~n所给出的两个递归数列{U_n}、{V_n}中的基本形数--Pronic数、三角数、五角数进行研究,给出了完整的结果。作为应用,解决了与其相关的六个不定方程问题。同时还给出了一个由组合设计研究产生的不定方程的初等而简明的解法。 定理1当且仅当n=±1时,4U_n+1为完全平方数。即{U_n}中仅有U_(±1)=2为Pronic数。 定理2序列{V_n}中仅有V_0=0和V_4=56为Pronic数。 定理3序列{U_n}中仅有U_0=1为三角数。 定理4序列{V_n}中仅有V_1=1、V_3=15和V_6=780为三角数。 定理5当且仅当n=0,±1,±2,±3时,U_n是广义五角数。其中仅有U_0=1是五角数。 定理6当且仅当n=0, 1, 3时,V_n是广义五角数。其中仅有V_1=1是五角数。 定理7不定方程x~2 ( x+ 1)~2-3y~2=1满足y0的全部整数解是(x, y)=(-2, 1), (1, 1). 定理8不定方程x~2-3y~2(y+1)~2=1满足x0的全部整数解是(x, y)=(1, -1), (1, 0), (97, -8), (97, 7). 定理9不定方程x~2 (x+1)~2-12y~2=4的全部整数解是(x, y)=(-2, 0), (1, 0). 定理10不定方程4 x~2-3y~2(y+1)~2=4满足x0的全部整数解是(x, y)=(2, -2), (2, 1), (26, -6), (26, 5), (1351, -40), (1351, 39). 定理11不定方程x~2 (3 x- 1)~2-12y~2=4满足y 0的全部整数解是(x, y)=(1, 0), (-1, 1), (-2, 4), (-4, 15). 定理12不定方程4 x 2 - 3y~2(3y-1)~2=4满足x0的全部整数解是(x, y)=(1, 0), (2, 1), (26, -3). 定理13不定方程3x~4 -4y~4 -2x2 +12y~2 -9=0 (16)仅有正整数解(x, y)=(1, 1)和(3, 3).


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