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《重庆大学》 2011年
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非线性方程Newton型迭代解法与几何迭代算法

李小武  
【摘要】:非线性问题在现代科学计算中占有相当重要的地位,由实际问题经过数学模型化导出方程(组)往往是非线性的,因此如何更好的合理解决这些非线性方程(组)在近几十年来成为一个非常热门的研究课题。文章研究的主要内容是求解非线性方程Newton型迭代解法与几何迭代算法。 1我们提供了具有高阶收敛的修改Newton型迭代法,这种方法是基于King四阶收敛方法,这个方法在每次迭代过程中只需要三步,且收敛阶数是16阶。一些例子显示我们所给出的Newton型方法比Newton方法和其它方法的更有效的和更好的性能。 2对于非线性方程重根数m并且重根数是未知的零点问题,我们提供了给出了五阶收敛的新的Newton型的迭代方法。我们用数值分析方法证明和分析了我们的方法是五阶,一些测试函数的例子显示了我们所给出的方法要比存在的方法要优越。 3基于Li等人的四阶收敛方法[Li, Zheng, Zhao, a variant of Steffenson's method of fourth-order convergence and its applications, Appl. Math. Comput. 216 (2010), 1978-1983],我们提供了一个比较鲁棒的七阶三步迭代方法,其中这个迭代方法是不需要求函数导数,并且指标有效性能达到1.626。 4一类三步八阶求解零点的迭代方法被我们所构造。我们主要是用有理函数插值的方法来实现三步八阶迭代公式。在我们所构造的八阶迭代公式中,我们的指标效用是最优的,也就是说这个指标效用能符合Kung-Traub猜想,并且我们这个迭代公式是多点迭代不需要内存的。更进一步,我们构造这类迭代方法在每次迭代过程中是不需要求函数导数,因而在工程计算中具有很强的实用性,我们也给出了这类方法的很好的分析。为了测试这类迭代公式的准确性,一些测试例子显示我们提供的无函数导数的迭代方法比在文献中提供的迭代方法要好。 5在Petkovic[SIAM J.NUMER. ANAL. 47(2010), pp.4402-4414]中,一类n点求解非线性方程单根的方法被构造出来了。作者证明了这类迭代方法收敛阶数是2n ,在每次迭代过程中,需要n+1个评估值函数。在我们这个注解中,我们发现作者所给出这类通常的迭代公式是不支持Kung-Traub多点迭代的猜想(1974)。 6关于点到参数曲线正交投射和逆向问题,清华大学胡事民教授等人提供了一种基于曲率信息的算法(见Computer Aided Geometric Design, 22(2005) 251-260)。他们谈到是二阶收敛,但没有给出证明,我们在这个注记里,证明了点到参数曲线的投射问题是二阶全局收敛的,对于点到参数曲线的逆向问题是三阶全局收敛的,而不是二阶收敛。关于点到空间参数曲线的最近距离或者是反求参数问题。我们利用曲率性质构造了一种全局收敛的几何迭代方法。这种迭代方法要比Newton迭代方法的速度快。不存在初始点敏感问题。利用数值分析的方法,我们给出了严格的证明是二阶全局收敛的。关于点到参数曲面的最近距离或者是反求参数问题,我们利用参数曲面的法曲率性质构造了一种全局收敛的几何迭代方法。这种方法要比Newton迭代方法的速度快。对初始点不存在敏感,我们发现这种几何迭代方法也是二阶全局收敛的。
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