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《重庆大学》 2012年
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广义逆逆序律与Drazin逆的研究

刘喜富  
【摘要】:广义逆是上世纪矩阵理论中的一项极为重要的新发现,特别是自1950年以来,广义逆矩阵理论和计算方法的研究取得了长足的发展,并在数理统计、数学规划、计量经济、数值分析、博弈论、控制论和网络理论等领域得到了不同程度的应用。随着广义逆的不断发展,又产生了Drazin逆等其他广义逆,矩阵Drazin逆在许多领域中都有着非常广泛的应用,如奇异的微分方程,奇异的差分方程,算子理论,Markov链,密码学,迭代法等方面。根据广义逆的类型,本文的研究内容可分为两部分。第一部分是关于Moore-Penrose逆及其衍生出来的广义逆的研究,包括广义逆逆序律、公共最小二乘解、偏序等内容;第二部分是关于Drazin逆的研究,包括矩阵之和的Drazin逆、修正矩阵的Drazin逆以及分块矩阵的Drazin逆。具体结构安排如下。在第2章,我们研究了多个矩阵乘积的{1,2,3}-逆和{1,2,4}-逆的普通逆序律,基于{2}-逆的一个秩等式,证明了An{1,2,i}…A2{1,2, i}A1{1,2,i}(?)(A1A2…An){1,2,i}和An{1,2,i}…A2{1,2, i}A1{1,2, i}=(A1A2…An){1,2,i}的等价性,彻底解决了关于这两种逆序律的遗留问题。第3章,利用广义Schur补极秩的有关结论,研究了两个矩阵乘积的{1,2,i}-逆(i=3,4)的混合型逆序律,得到了以下几种关系成立的充要条件第4章,首先给出了矩阵方程A1XB1=C1和A2XB2=C2存在公共最小二乘解的充要条件,和其公共最小二乘解的表达式。其次,根据这些结论研究了矩阵方程AXB=C存在Hermitian最小二乘解的条件及其解的表示形式。最后,给出了Hermitian最小二乘广义逆和Hermitian最小范数广义逆的存在定理及其表达式。第5章,考虑了矩阵P+Q的Drazin逆,得到了其在条件PQP=0和PQ2=0(或QPQ=0和P2Q=0)下(P+Q)D的表达式。另外,也考虑了一种特殊情形下的修正矩阵的Drazin逆,即,当A为幂等矩阵时,A-CB的Drazin逆。根据得到的P+Q的Drazin逆的结论,在第6章,我们研究了2×2分块矩阵的Drazin逆,在更弱条件下,得到了此分块矩阵的Drazin逆的表达式,改进了部分已有的结论;同时也研究了反三角矩阵的群逆和Drazin逆。第7章,我们主要研究行分块和列分块矩阵的偏序,即,偏序关系A(?)C,B(?)D与偏序关系|(或之间的联系。特别的,也研究了偏序关系的加法运算与乘法运算,并给出了可加和可乘需满足的条件。
【学位授予单位】:重庆大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O151.21

【参考文献】
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