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几类非线性浅水波方程与扩散方程解的性质研究

周寿明  
【摘要】:在物理学、化学、流体力学和生物学等诸多实际领域内提出了大量关于时间变化的非线性问题,这些问题在数学上往往是通过一些具有奇异或退化的非线性发展方程来描述.本文主要分析来自于应用科学中的几类非线性浅水波方程与扩散方程(组)解的奇异性质.全文分为七章:第一章,绪论,主要介绍所研究问题的实际背景和发展状况,并陈述本文的主要研究内容. 第二章,考虑一类高阶浅水波方程的Cauchy问题:ytauxybuyx0其中y:=Λ~(2K)u(1ω~2_x)~ku.首先得到了该浅水波方程Cauchy问题的解在Sobolev空间Hs()(s72)中的局部适定性;在适当的假设下,得到该方程存在唯一的全局解;并给出了该方程的解在有限时刻发生奇性的充分条件;最后考虑了方程的弱解.(本章的主要结果发表于J.DifferentialEquations,2011(251):3488-3499.) 第三章,研究一类推广的Camassa-Holm方程的解在发生波的破裂现象后的一个延拓.通过引入一个新变量(这组新的变量可以解决所有由wavebreaking现象引起的奇性),将原发展方程转化成一个半线性系统.通过该压缩变换存在不动点得到该半线性系统解的局部存在性.由于所得半线性系统的解在发生碰撞(collision)后还是连续的,所以可以将原方程的解延拓到发生wavebreaking现象以后,通过这个变换给出了当能量在几乎所有时间内都守恒的一个全局守恒解,还给出了当能量耗散时的一个耗散解.返回到原方程就得到一个连续依赖于初值的全局守恒或耗散解的半群.(本章的主要结果已被DiscreteContin.Dyn.Syst.接受.) 第四章,研究一类具有弱耗散项的高阶非线性浅水波方程y_I+u~(m+1)ybu~mt_xuxy+λy0,其中λb都是常数,mN,y(1ω2x)u.该方程包含著名的Camassa-Holm,Degasperis-Procesi和Novikov方程.首先研究了该方程Cauchy问题的强解在Besov空间Bspr(?)(1ζprζθ,smax{11/p3/2})中的局部适定性,在适当假设条件下得到了该方程强解的整体存在性唯一性以及在有限时刻发生奇性的充分条件,还研究了该方程强解的持续性和解析性.其次,虽然该方程的H~1(?)可能不再守恒,但当u0(x)Hs(?),αum0u0xαLθ(?)θ以及λ0时可得该方程的弱解在低阶Sobolev空间Hs()(1s3/2)中的局部存在性.最后,考虑了λ0时该方程的整体弱解和尖峰解.(本章的主要结果已投往Nonlinearity) 第五章,考虑一类具有耦合奇异吸收项的反应扩散方程组解的淬灭现象.首先得到了对任意初值该反应扩散方程组的解都会在有限时间内发生淬灭,并且验证了淬灭现象发生时,在淬灭点处解关于时间的导数爆破;进一步,在适当假设条件下,找到了一种用幂指数来判定方程组的解是否发生同时淬灭的准则,并给出了幂指数在不同取值范围内原方程组解的淬灭速率估计;最后,用数值试验进一步验证了所得结果.(本章的主要结果发表于Boundary Value Problems,2010,Article ID797182.)第六章,研究一类具有非线性记忆项和正Dirichlet边值条件的反应扩散方程. 首先,证明了该方程局部解的存在唯一性,同时还得到存在一个临界长度α使得当αφα时该方程的解会在有限时间内发生淬灭,并且在淬灭时刻解关于时间的导数爆破,还给出了在适当的假设条件下的淬灭速率估计;最后,给出了该方程的一种数值计算方案,并用数值实验辅助说明了上述理论结果的正确性.(本章的主要结果发表于Commun.NonlinearSci.Numer.Simulat.,2012(17):754-763.)第七章,研究带有一般奇异吸收项和Neumann边界条件的非局部扩散方程解的淬灭现象.首先得到了该方程解的局部存在性和唯一性,同时还证明了该方程会 在有限时间内发生淬灭;在适当假设下可得该方程的解只在单点x0处发生淬灭,并且还得到了这种情况下的淬灭速率估计;最后,通过数值实验对所得结果进行了直观地说明.(本章的主要结果发表于Z.Angew.Math.Phys.,2011(62):483-493.)


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