时滞神经网络的动力学行为分析

【摘要】：在过去的二十年里，提出了大量的时滞神经网络来解决各类的工程问题。通常，设计基于神经网络的计算系统必须对神经网络的动力学行为有着深刻的理解。总的来说，研究神经网络的动力行为不仅有着重要的理论意义，而且也对神经网络在工程中的实际应用(如：模式识别、联想记忆、优化)有着重要的指导意义。因此，时滞神经网络的动力学问题引起了学术界的广泛关注，特别是时滞神经网络平衡点和周期解的全局稳定性(包括绝对稳定性、渐近稳定性、鲁棒稳定性、指数稳定性等)、分岔和混沌等问题得到了深入地研究，出现了一系列重要的研究结果。 本论文中主要致力于分析环状神经网络的稳定性和Hopf分岔产生的条件，BAM神经网络和惯性神经网络的余维2分岔的研究，获取了一些有意义的成果，其主要内容和创新之处可概述如下： ①环状神经网络的稳定性和分岔研究 环状网络出现在许多神经结构中，例如大脑皮层、小脑和海马之中，甚至出现在化学和电路设计中。通过研究环状神经网络，我们可以了解循环网络的基本机理。本论文主要对一类环状神经网络的稳定性和分岔进行了研究，通过构造Lyapunov泛函，得到了系统全局指数稳定的充分条件，通过分析相应的线性化系统的特征方程，得到了一个新的具有时滞无关局部稳定性的充分必要条件。同时，也获得时滞相关的局部稳定性以及Hopf分岔的充分必要条件。通过对相应的线性化系统的特征方程的研究，我们发现这类环状神经网络系统的稳定性和Hopf分岔的产生只与系统所有神经元的时滞之和和连接权重的乘积有关，与系统中单个神经元的时滞和连接权重无关。不同的环状神经网络，只要它们所有神经元的时滞之和以及连接权重的乘积相等，则他们所表现出来的动力学行为就是一样的。 ②BAM神经网络的Hopf-Pitchfork分岔研究 通过研究BAM神经网络相应的线性化系统的特征方程的特征值分布，得到系统Hopf-Pitchfork分岔产生的临界条件。通过运用规范型方法和中心流形定理，获得了系统在中心流形上的Hopf-Pitchfork分岔的规范型。最后，通过分析和仿真，我们发现很多有趣的动态现象如：系统参数变化导致系统平衡点数量发生变化、在Hopf-Pitchfork分岔的临界点附近系统同时存在两个渐近稳定状态和两个周期解。 ③BAM神经网络的Bogdanov-Takens分岔研究 在神经网络的研究中，对真实世界的神经网络模拟不可避免的需要各种各样的网络连接拓扑。大量的实验表明，不同的连接权重会导致不同的动力学行为表现。因此，本论文研究了系统的拓扑结构变化对BAM神经网络模型的动力学行为的影响。通过分析相应的线性化模型的特征方程的特征值分布，我们发现当连接权重c21和c31变化达到某个临界值时，BAM神经网络会产生Bogdanov-Takens分岔。我们以连接权重c21和c31为分岔参数，通过运用规范型方法和中心流形定理，得到了BAM神经网络模型在中心流形上的Bogdanov-Takens分岔的规范型。通过对Bogdanov-Takens分岔规范型的分岔图进行分析，我们从理论上证明了不同的连接权重会导致不同的动力学行为表现。 ④惯性神经网络的Hopf-Pitchfork分岔研究 惯性时滞神经网络具有较强的生物学背景，因此在满足一定条件的情况下，神经元的电路实现可以通过加入一个电感完成类似于带通滤波器、电调谐或者时空过滤的作用。本论文研究了一类两个时滞神经元的惯性神经网络模型的Hopf-Pitchfork分岔。首先通过研究该模型线性化系统的相应的特征方程的特征值分布，得到系统Hopf-Pitchfork分岔产生的临界条件。然后以连接权重和时滞为分岔参数，通过运用标准型方法和中心流形定理，得到了系统在中心流形上的Hopf-Pitchfork分岔规范型。最后，通过对分岔图的分析和系统仿真，我们发现很多有趣的现象如：系统参数变化导致系统平衡点数量发生变化，在Hopf-Pitchfork分岔的临界点附近，系统同时存在两个渐近稳定状态和两个周期解。