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《重庆大学》 2010年
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Landau-Lifshitz方程解的一些研究

刘利敏  
【摘要】: Landau-Lifshitz方程是描述磁性物质动态磁化现象的方程,如同Navier-Stokes方程在流体力学中所起的作用一样,在对非平衡态磁学研究中,它起着十分重要的作用。很多物理学家和数学家对这个方程做出了杰出的贡献,但是,它是否存在整体光滑解仍然是一个重要的公开问题。 本文主要研究带有外加磁场的Landau-Lifshitz方程解的一些问题,给出了一些有意义的结果。我们是从以下四个方面展开的: 首先,我们研究具有不连续外磁场的Landau-Lifshitz方程的分段光滑解。当外磁场恒定时,我们证明了有或无外磁场的两个Landau-Lifshitz方程解之间相互转化的两个定理,并给出了两个实际应用例子;同时我们也研究了这两个方程解之间的渐近性,给出并证明了有外磁场Landau-Lifshitz方程的解收敛到无外磁场Landau-Lifshitz方程解的一个充要条件。 其次,当外磁场随时间或者空间变化时,我们证明了Landau-Lifshitz方程的外磁场与它的解之间的一个关系定理。利用这个关系,对外磁场含空间和时间变量的两个Landau-Lifshitz方程,我们分别给出了它们的整体光滑解和能量爆破解。 接着,由于不含外磁场和耗散项的Landau-Lifshitz方程对于研究其他类型Landau-Lifishitz的重要作用,我们特意求出了这种Landau-Lifshitz方程的一些显示或隐式柱对称解,并通过maple软件画出了一些解的图像。 最后,我们研究了具有不连续外磁场的Landau-Lifshitz方程的初边值问题,我们着重研究了在外磁场不连续无界或不连续有界的两种情形下弱解的存在性问题。 这些研究可以帮助我们更加深入理解Landau-Lifshitz方程,尤其是理解具有外加磁场Landau-Lifshitz方程与没有外加磁场的Landau-Lifshitz方程之间解的关系。
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