基于Dirichlet过程的非参数贝叶斯分析

【摘要】： 统计问题中，贝叶斯方法在很多方面已经硕果累累，不过在处理非参数方面却仍存在很大的差距，这主要是由于很难在参数空间上找到有效的先验分布，具体到非参数问题就是在给定样本空间取一个概率分布集。 基于Ferguson的观点，在非参数问题中，对先验分布有两方面的要求： (1)样本空间中，相对于概率分布空间上的某些适当的(弱)拓扑，先验分布必须有足够大的支撑。这就保证了先验选择的灵活性与广泛性，以便于找到最适合模型的分布函数。 (2)在真概率分布中，给定样本观测值时的后验分布必须易于分析。这就要求后验与先验形式的相同，或者是共轭类，或者能比较容易的计算，从而保证在实际中的应用价值。 然而这两个要求是相悖的。我们通常的处理方法是通过放宽第一个条件，而将第二个条件设置为共轭类来构造分布类。 参看最近几十年的文章，我们可以发现，应用最多的处理非参数贝叶斯问题的方法是沿用Ferguson1973年构造的Dirichlet过程的第二个定义的思想，对各个参数进行扩充，将条件加强或者减弱。其中最受上述思路影响的是Jayaram Sethuraman1994年的文章，他通过对各个参数加以特殊化，将Ferguson的第二个定义推广为无序排列。但由于他们是在n取1到∞间考虑的，所受的限制也相对较大。因此我们考虑当所取的n的区间变化时，即若把区间上限看作随机变量时，是否仍有相同或相似的结论成立呢?这是肯定的。这就是下面我将要在论文中讨论研究的问题。 本文在Jayaram Sethuraman1994年文章的基础上，主要做了以下几方面的工作： (1)给出了简单Dirichlet过程的构造性定义，说明了在其构造下是非参数的先验分布类，并证明它是满足上述两点要求的。 (2)讨论了简单Dirichlet过程的性质，并给出了在可测剖分下它的有限阶原点距，方差，协方差等数字特征。 (3)讨论了它的支撑问题，证明它的支撑是足够大的。 (4)求出了在该先验类下其后验的具体表达形式。