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基于Dirichlet过程的非参数贝叶斯分析

姚宗静  
【摘要】: 统计问题中,贝叶斯方法在很多方面已经硕果累累,不过在处理非参数方面却仍存在很大的差距,这主要是由于很难在参数空间上找到有效的先验分布,具体到非参数问题就是在给定样本空间取一个概率分布集。 基于Ferguson的观点,在非参数问题中,对先验分布有两方面的要求: (1)样本空间中,相对于概率分布空间上的某些适当的(弱)拓扑,先验分布必须有足够大的支撑。这就保证了先验选择的灵活性与广泛性,以便于找到最适合模型的分布函数。 (2)在真概率分布中,给定样本观测值时的后验分布必须易于分析。这就要求后验与先验形式的相同,或者是共轭类,或者能比较容易的计算,从而保证在实际中的应用价值。 然而这两个要求是相悖的。我们通常的处理方法是通过放宽第一个条件,而将第二个条件设置为共轭类来构造分布类。 参看最近几十年的文章,我们可以发现,应用最多的处理非参数贝叶斯问题的方法是沿用Ferguson1973年构造的Dirichlet过程的第二个定义的思想,对各个参数进行扩充,将条件加强或者减弱。其中最受上述思路影响的是Jayaram Sethuraman1994年的文章,他通过对各个参数加以特殊化,将Ferguson的第二个定义推广为无序排列。但由于他们是在n取1到∞间考虑的,所受的限制也相对较大。因此我们考虑当所取的n的区间变化时,即若把区间上限看作随机变量时,是否仍有相同或相似的结论成立呢?这是肯定的。这就是下面我将要在论文中讨论研究的问题。 本文在Jayaram Sethuraman1994年文章的基础上,主要做了以下几方面的工作: (1)给出了简单Dirichlet过程的构造性定义,说明了在其构造下是非参数的先验分布类,并证明它是满足上述两点要求的。 (2)讨论了简单Dirichlet过程的性质,并给出了在可测剖分下它的有限阶原点距,方差,协方差等数字特征。 (3)讨论了它的支撑问题,证明它的支撑是足够大的。 (4)求出了在该先验类下其后验的具体表达形式。


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