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二次与三次隐式代数曲面沿平面截口的高光滑拼接

侯培彬  
【摘要】: 计算机辅助几何设计(CAGD)的一个基本任务是曲面拼接,就是将两个或两个以上的曲面用一个曲面光滑拼接起来。由于功能和美观的要求,曲面拼接在几何设计中有广泛的应用。二十世纪七十年代末,构造性代数几何有了突破性进展后,曲面拼接问题有了有了一系列突破性进展。1989年J.Warren把曲面拼接问题转化为求理想交的最低次成员问题,有实用价值的是求拼接曲面的最低次多项式。1993年,吴文俊曾利用特征列方法把这类问题转化为多项式方程组的不可约升列的计算,但仍旧计算量较大,不易实现。1996年,王旭超在伍铁如工作的基础上,给出了两个二次代数曲面的三次GC~1拼接的实现方法。近年来,随着计算机系统的研制,于凯、薛长虹等人利用计算机软件解决了多个二次曲面的GC~1拼接问题,2006年李云东研究了二次曲面与三次曲面在其平面截口处三次和四次GC~1拼接存在的充要条件和算法。2007年任燕飞在其硕士论文中,运用上述方法,研究了三个二次曲面在其平面截口处的高光滑拼接。 本文在前人的基础上,利用计算机代数方法,继续讨论了二次和三次隐式代数曲面沿平面截口的高光滑拼接问题。如果g,h为两个不同的不可约多项式,S(g),S(h)横截于S(g,h),则对任意的多项式f,若S(f)在S(g,h)处与S(g)相切,则f∈g,h~3,于是对于二次和三次代数曲面的情况,我们就可以得到拼接曲面G满足G∈G_i,H_i~3,G∈G_1,H_1~3∩G_2,H_2~3∩G_3,H_3~3,即G=S_1G_1+T_1H_1~3=S_2G_2+T_2H_2~3=S_3G_3+T_3H_3~3,其中S_i,T_i的次数由G_i,H_i决定(i=1,2,3),只要S_i,T_i的形式确定,那么拼接曲面也就确定了。于是我们就将研究二次和三次曲面沿平面接口的拼接曲面的存在性转化为求几个多项式理想交的成员问题,进而化为齐次线性方程组的非零解的存在问题。利用计算机代数系统Maple给出二次与三次代数曲面沿平面截口GC~2拼接的条件及结论: (1)一个二次曲面和一个三次曲面 定理1.1当一个二次代数曲面与一个三次代数曲面作拼接时,三次GC~2拼接曲面存在的充要条件是其相应的线性方程组的系数矩阵M_1的秩小于7。 定理1.2当一个二次代数曲面与一个三次代数曲面作拼接时,四次GC~2拼接曲面存在的充要条件是其相应的线性方程组的系数矩阵M_2的秩小于22。 定理1.3当一个二次代数曲面与一个三次代数曲面作拼接时,五次GC~2拼接曲面存在的充要条件是其相应的线性方程组的系数矩阵的秩小于50。 (2)两个二次曲面和一个三次曲面 定理1.4当两个二次代数曲面与一个三次代数曲面作拼接时,三次GC~2拼接曲面存在的充要条件是其相应的线性方程组的系数矩阵M_3的秩小于12。 定理1.5当两个二次代数曲面与一个三次代数曲面作拼接时,四次GC~2拼接曲面存在的充要条件是其相应的线性方程组的系数矩阵M_4的秩小于36。 定理1.6当两个二次代数曲面与一个三次代数曲面作拼接时,五次GC~2拼接曲面存在的充要条件是其相应的线性方程组的系数矩阵的秩小于80。 (3)一个二次曲面和两个三次曲面 定理1.7当两个三次代数曲面与一个二次代数曲面作拼接时,三次GC~2拼接曲面存在的充要条件是其相应的线性方程组的系数矩阵M_5的秩小于9。 定理1.8当两个三次代数曲面与一个二次代数曲面作拼接时,四次GC~2拼接曲面存在的充要条件是其相应的线性方程组的系数矩阵M_5的秩小于30。 定理1.9当两个三次代数曲面与一个二次代数曲面作拼接时,五次GC~2拼接曲面存在的充要条件是其相应的线性方程组的系数矩阵的秩小于70。 最后给出了相应的计算机实现程序,证明了计算机代数方法的有效性。


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