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《电子科技大学》 2010年
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线性方程组迭代法与预条件技术及在电磁散射计算中的应用

荆燕飞  
【摘要】:本文研究内容涉及数值计算方法中的两个方面.其一,主要发展了求解线性方程组的新的子空间投影法及其在计算电磁学、计算化学等科学与工程计算领域中的应用研究.其二,以开发基于物理问题的高效预条件子为出发点,对弱奇异积分处理技术及应用也做了研究. 本文包括新算法的设计和算法的应用研究.算法设计方面主要创新成果包括:提出了一种新的求解对称正定线性方程组的算法–“二维双连续投影法(2D-DSPM)”,建立了带位移线性系统重开始的加权位移全正交法(RWS-FOM),开发了一类基于Lanczos双共轭A-标准正交过程的Krylov子空间投影法(BiCOR/CORS/BiCORSTAB).而推广应用方面的主要贡献包括:推广应用Lanczos双共轭A-标准正交法求解在计算电磁学和计算化学模型问题中产生的线性方程组以及将最新提出的处理弱奇异积分的机械求积技术推广应用于无限长金属柱体的散射计算问题.具体来说,本文研究内容组织为方法篇和应用篇,其中,下面前三部分归于方法研究篇,后三部分属于应用研究篇,具体内容如下: 2D-DSPM方法.首先从科学计算领域广泛使用的投影技术角度重新解析了学者Ujevic′于2006年提出的一种新颖的数值迭代算法.然后结合投影技术和线性子空间理论,给出了一种新的求解对称正定线性方程组的算法–“二维双连续投影法(2D-DSPM)”.我们从理论上深入分析探讨了2D-DSPM方法较Ujevic′迭代算法的优越性,并且通过数值实验表明, 2D-DSPM方法在大部分实际问题求解时极其有效,收敛速度较Ujevic′方法快1~2倍.这方面研究工作可以说为定常迭代法和非定常迭代法之间搭建了一个桥梁,使我们进一步更加深刻地认识到了这两类方法之间的关系.目前为止,此研究工作已得到进一步推广和应用,例如3D-OPM、1V-DSMR和mD-DSPM方法的产生以及2D-DSPM方法在矩阵方程和边界层问题方面的推广应用. RWS-FOM方法.基于Essai于1998年给出的Arnoldi加权过程,提出了一种重开始的加权位移全正交法(RWS-FOM)用于求解带位移线性系统,并且对于该算法中涉及的权重选择策略进行了深入的探讨和研究.数值实验表明了RWS-FOM方法比重开始的位移全正交法(RS-FOM)在重开始次数方面所具有的加速性能.而且,RWS-FOM方法在一定程度上可以求解使用RS-FOM方法不收敛的带位移线性系统. BiCOR/CORS/BiCORSTAB方法.这部分研究内容是对用于求解复非Hermitian线性方程组的Krylov子空间方法作出的进一步发展与创新.在Sogabe和Zhang的COCR方法基础上,首先给出了一种Lanczos双共轭A-标准正交过程,然后在此过程基础上,提出了三种Krylov子空间投影法.前两种方法数值上改进和推广了Sogabe的相关方法.第三种方法是一个新算法,并且,第三种算法在某些情形下比前两种方法数值上更加稳定,收敛行为更加平滑.在大量数值比较实验的基础上,发现所提出的这三种算法无论从残差平滑性上,还是收敛速度上,都比经典的复双共轭梯度法(CBiCG)及其两个衍生方法(CGS, BiCGSTAB)以及Sogabe所提出的相关方法表现出色.特别是共轭A-正交残量平方法(CORS),某些情形下就收敛速度方面甚至可以与BiCGSTAB方法相媲美.目前为止,此研究工作已推广应用于计算电磁学、计算化学等科学与工程计算领域,例如应用Lanczos双共轭A-标准正交法求解通过矩量法(MoM)离散Maxwell方程组所得的稠密复非Hermitian线性系统以及求解由NERSC的Sherry Li提出的计算化学模型问题中产生的两个复非对称线性方程组的问题. Maxwell方程组和计算化学模型问题中迭代法应用研究.这两部分分别将我们提出的Lanczos双共轭A-标准正交法推广应用于求解在计算电磁学和计算化学模型问题中产生的大型线性方程组.其中,第一部分是对通过矩量法(MoM)离散Maxwell方程组所得的稠密复非Hermitian线性系统的迭代法应用研究.通过在一组表征计算实际目标雷达散射截面(RCS)的模型问题上进行的数值实验,展示了这类方法较其他流行的Krylov子空间方法所具有的竞争优势,特别是在存储量有一定限制要求的情况下.结果有助于评价Krylov子空间迭代法用于求解大尺寸电磁散射问题的潜力,同时也充实了该领域迭代法的求解技术.第二部分研究运用迭代法结合简单对角预条件技术求解由NERSC的Sherry Li提出的计算化学模型问题中产生的两个复非对称线性方程组的问题,进一步反映了BiCOR/CORS/BiCORSTAB方法与其他常用的迭代法相比所具有的竞争性.同时指出基于物理问题的特定预条件子对于Krylov子空间方法的成功运用起着关键性的作用. 计算电磁学中弱奇异积分处理技术应用研究.最后一部分将最新提出的处理弱奇异积分的机械求积技术进行修正后应用于计算电磁学中的散射计算问题.其核心思想是高效计算阻抗矩阵,从而得到高精度的表面电流分布及雷达散射截面(RCS).通过计算无限长金属圆柱和椭圆柱的相关数据,所修正方法和计算电磁学界的经典矩量法相比在计算结果精度和求解速度方面具有明显的优越性.而且,所修正的机械求积方法对于电大问题也只需少量点就可以得到较好的表面电流分布及RCS.此工作将数学界的最新理论成果应用于电磁计算研究.另一方面,在应用的过程中又会产生新的数学问题,比如误差分析等,为今后的研究探明方向.同时,这方面的研究工作有助于深入理解阻抗矩阵的形成过程,为构造基于物理问题的高效预条件子奠定了坚实的算法理论基础.另外,采用迭代法求解此研究工作中产生的系数矩阵为复满阵的线性代数方程组的数值实验再一次验证了我们提出的Lanczos双共轭A-标准正交法所具有的有效性和实用性.
【学位授予单位】:电子科技大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:O241.6;O441.4

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