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《电子科技大学》 2010年
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PDE离散方程组和鞍点问题的预处理方法

黄卓红  
【摘要】:本文主要使用对称正定矩阵、M-矩阵、H-矩阵、严格对角占优矩阵以及带状矩阵等知识和约束预处理技术、Krylov子空间方法、对角补偿约化方法、不完全LU分解方法、HSS迭代方法、PHSS迭代方法、AHSS迭代方法、增广拉格朗日方法、多乘许瓦兹方法以及稀疏近似逆预处理技术等方法得到了有关求解PDE离散方程组及大型稀疏鞍点系统的预处理技术。本文主要获得了如下成果: 基于不完全LU分解方法以及对角补偿约化方法,本文设计了一类新的约束预处理因子,应用这类预处理子求解大型稀疏对称正定系统并且从理论上验证了相关迭代方法的收敛性。在数值求解中,使用这类约束预处理子加速Krylov子空间迭代方法,例如:PCG迭代方法、GMRES迭代方法及BiCGSTAB迭代方法等,求解亥姆霍兹方程及泊松方程,通过与已有结论进行数值比较,从迭代数及求解时间方面验证了本文提出的约束预处理因子的有效性及精确性。 为了求解广义鞍点问题,基于HSS、PHSS及AHSS方法,本文提出了PAHSS迭代方法。在理论方面验证了PAHSS迭代方法对任意迭代参数都是无条件收敛的,并且详细地研究和讨论了相关预处理矩阵的谱的分布情形。在数值实验中,使用PAHSS迭代方法作为预处理子加速Krylov子空间方法求解广义鞍点问题,通过与AHSS迭代方法进行数值比较,从迭代数及求解时间方面进一步验证了本文的PAHSS预处理因子的有效性及实用性。 为了求解离散混合型时谐Maxwell方程,本文提出了两类预处理因子:增广拉格朗日基块三角预处理因子及多乘块预处理因子。增广拉格朗日基块三角预处理因子是根据增广拉格朗日基方法提出的,在文中,应用增广拉格朗日基块三角预处理因子预处理求解鞍点问题,对相关预处理矩阵的谱分布情形做了详细的研究。在数值实用中通过使用增广拉格朗日基块三角预处理因子预处理Krylov子空间方法,成功地验证了这类预处理子的有效性。根据多乘块方法或多乘许瓦兹方法,本文提出了多乘块预处理因子,应用多乘块预处理因子求解鞍点问题并且对相关预处理矩阵的谱做了详细的分析和研究。在数值实验中,针对任意波数的离散型混合时谐Maxwell方程,应用多乘块预处理技术预处理Krylov子空间方法,从迭代数和求解时间方面与已有的块对角及两类块三角预处理因子做了比较,数值结果进一步验证了多乘块预处理技术的优越性。 本文使用严格对角占优五对角矩阵逆的上界估计作为近似逆预处理因子对Toeplitz系统进行了有效地求解;然后对严格对角占优七对角矩阵的逆元素的上下界做了估计,并且,当研究的矩阵为严格对角占优七对角M-矩阵时,从理论上验证了本文所给出的上界估计恰好是该矩阵的精确逆,通过数值实验验证了本章所给出的界限估计的精确性。
【学位授予单位】:电子科技大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:O241.6

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【参考文献】
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