切换正系统的Lyapunov函数存在性问题研究

【摘要】：本文主要研究切换正系统Lyapunov函数的存在性问题，利用拓扑、矩阵、代数以及控制理论作为工具，对几类特殊的切换正系统分别建立公共线性协正Lyapunov函数、公共对角Lyapunov函数以及切换线性协正Lyapunov函数存在性准则。全文主要工作如下： 1．研究线性切换正系统的公共线性协正Lyapunov函数存在性问题。主要遵循两种不同的思想：其一是线性规划思想，其二是凸锥思想。 采用线性规划思想，我们分别处理了子系统全为离散时间时不变线性系统情况和子系统是连续和离散时间时不变线性系统混合的两种情况。当子系统全为离散时间时不变线性系统时，首先考虑了2×2空间上由两个子系统组成的切换正系统，通过简单的几何讨论，获得判别公共线性协正Lyapunov函数存在的一个行列式条件。其次，将该结论推广到了有限个子系统的情形。再次，考虑两类特殊的高维切换正线性系统：系统矩阵是上（下）三角和系统矩阵是上（下）三角块的情况。对于前一种情况，我们证明该类系统公共线性协正Lyapunov函数一定存在，并给出公共线性协正Lyapunov函数具体取法。对于后一种情况，我们证明整个切换线性系统公共线性协正Lyapunov函数的存在性等价于由对角块矩阵组成的切换正线性系统的公共线性协正Lyapunov函数的存在性；当子系统为连续和离散时间混合时不变线性系统时，基于类似的讨论，一系列相对应的结论被导出。 采用凸锥思想，分别考虑由有限个时不变和多时滞线性系统组成的离散时间切换正系统。建立该两类系统公共线性协正Lyapunov函数存在的一些充要条件。所得到的结果的优势在于非常易于用代数方法验证公共线性协正Lyapunov函数存在性，同时对于某些特殊类型的系统，可以根据证明过程直接取出其公共线性协正Lyapunov函数。 2．研究由有限个时不变系统组成的一般切换正系统的公共对角二次Lyapunov函数存在性问题。首先考虑了系统为时不变的情况。在假定系统矩阵不可约且公共对角二次Lyapunov函数不存在的情况下，通过逼近思想，否定了当有限个凸锥足够邻接但不相交的情况下，超平面存在，基于此导出公共对角二次Lyapunov函数不存在的矛盾，进而肯定了有限个凸锥交集存在，即给出该类系统公共对角二次Lyapunov函数存在的一个等价条件。其次考虑了由有限个非线性自治系统组成的一类特殊正切换系统：切换合作系统。通过对非线性向量场齐次性和不可约性的引入，基于同样的思想和方法，导出该类系统公共对角二次Lyapunov函数存在的一个必要条件。 3．研究具有多个时滞的离散时间切换正线性系统的切换线性Lyapunov函数的存在性问题(切换线性Lyapunov函数的存在性是切换正系统一致渐近稳定的一个充分条件)。主要思想是将具有多个常时滞的离散时间切换正线性系统经过简单的代数变换转化为以子系统为顶的多面系统，进而采用线性规划工具，给出切换线性协正Lyapunov函数存在的等价条件，即线性规划条件和线性矩阵不等式条件。