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鞍点问题和马尔科夫链问题的高性能算法研究

文春  
【摘要】:科学与工程的很多重要领域如通讯网络和输送现象的模拟、经济管理和市场预测、高阶微分方程求解、流体力学、计算电磁学、油藏模拟和最优化问题等都离不开线性代数系统的求解.随着科学技术的迅猛发展,人们对线性代数系统的求解在计算速度和计算精度方面的要求变得越来越高.因此,线性代数系统的求解方法研究一直都是科学与工程计算的核心之一,具有十分重要的理论意义和实际应用价值.本文针对鞍点问题和马尔科夫链问题产生的线性代数系统,深入研究了直接法,矩阵分裂迭代法, Krylov子空间方法和预处理技术等在求解相应线性代数系统中的应用,并构造出了一些新的有效算法.全文共六章,分为四个部分: 研究了鞍点问题迭代求解预处理技术.首先提出了修正的对称超松弛类(MSSOR-like)迭代法求解经典鞍点问题,讨论了该迭代法的收敛性,给出了最优参数的选取范围,数值实验验证了其有效性.其次,针对具有2×2块结构的奇异对称鞍点问题,通过改变系数矩阵中(2,2)块矩阵的值,构造了修正的SSOR(MSSOR)预处理子,研究了MSSOR预处理矩阵的谱性质及其收敛性,数值实验说明了MSSOR预处理子能有效加快迭代法的收敛速度.最后,针对对称广义鞍点问题产生的不定线性代数系统,借用交替迭代法的思想,结合现有的块对角预处理子和约束预处理子,建立了乘积预处理子,分析了该预处理矩阵的特征值分布情况,对应特征向量的具体形式和最小多项式的最大次数,数值实验显示该乘积预处理子在减少所需计算时间和迭代步数方面有着明显的效果. 研究了矩阵分裂迭代法在求解马尔科夫链问题中的应用.由于马尔科夫链问题产生的线性代数系统通常是奇异的,以致适用于求解非奇异线性代数系统的很多计算方法不能直接应用于该问题的求解.为了克服这一难点,本文首先给出一个定理说明存在一个非负数使得马尔科夫链问题产生的线性方程组经过修正之后具有正定性.然后基于矩阵分裂迭代法的思想,构造了对称与反对称矩阵分裂(SSS)迭代法和三角与反对称矩阵分裂(TSS)迭代法.这类迭代法包含两个子系统,本文从理论上详细讨论了SSS和TSS迭代法的收敛性及其最优参数选取情况.在实际计算中,如果利用直接法精确求解SSS和TSS迭代法中的两个子系统,则每个子系统的计算量与求解原系统相当,以致这里的两步迭代失去了意义.为了加快两个子系统的求解速度,本文发展了非精确的SSS和TSS迭代法,记为ISSS和ITSS迭代法.数值实验说明了这些方法的有效性. 研究了求解马尔科夫链问题的向量外推加速多级聚合算法.首先介绍了多级聚合算法和向量外推方法的相关原理,说明多级聚合算法的核心部分在于如何有效地构造限制和延伸算子.然后指出该算法在求解马尔科夫链问题时存在的主要缺陷,即各层之间相互转化所需要的限制和延伸算子依赖于最新近似解,使得每步迭代中都需要重新计算限制和延伸算子,从而耗费大量的计算时间,令人无法接受.因此,本文结合向量外推方法计算量小,所需输入量少等优点,构造了新的向量外推加速多级聚合算法,数值实验说明了该新算法在减少计算时间和迭代步数方面所取得的进步. 研究了求解非奇异线性方程组的两个共轭方向方法, Bi-CR和Bi-CG方法,发现它们具有短项循环公式和双共轭性等特点.故试图将Bi-CR和Bi-CG方法推广到求解马尔科夫链问题产生的奇异线性代数系统,使之成为获得平稳状态概率分布向量的有效计算工具.数值实验说明了Bi-CR和Bi-CG方法求解马尔科夫链问题的有效性和稳定性.
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