分数阶微分方程理论分析与应用问题的研究

【摘要】：分数阶微分方程是指含有任意阶导数的微分方程。近三十年来,由于物理、工程等领域应用的拓展,激发了科研工作者对分数阶微积分的巨大热情。许多科研工作者指出分数阶微积分比整数阶微积分更适合刻画具有遗传和记忆性质的材料和过程。但是,由于分数阶微分算子具有非局部性和奇异性,使得分数阶微分方程的理论研究十分困难。因此,对分数阶微分方程的研究具有重要的理论意义和实际价值。本论文主要研究了带有参数的分数阶微分方程解的一些性质和含有Riemann-Liouville型分数阶q-导数的分数阶q-差分方程解的存在性以及含有左右分数阶导数的分数阶脉冲微分包含系统的多解性问题。全文的主要工作如下:1.带有参数和p-拉普拉斯算子的非线性分数阶微分方程解的存在性、唯一性、多解性和不存在性。主要通过分析所讨论系统的结构,将系统转化为相应的积分系统,构造了一特殊的泛函空间,应用非线性分析的相关知识结合分数阶微积分的基本理论以及一些不等式的技巧,详细给出了参数在不同的范围取值时,系统解的存在性、唯一性、多解性与不存在性。补充和完善了已有文献的结果。2.分数阶q-差分方程解的存在性、唯一性和正解的存在性问题。主要讨论了一类非线性项含有Riemann-Liouville型分数阶q-导数的分数阶q-差分方程。应用分数阶q-微分与分数阶q-积分的相关知识以及p-拉普拉斯算子的一些性质,通过三个不动点定理,即Schauder不动点定理、Banach压缩不动点定理、Krasnoselskii不动点定理,分别给出了解的存在性、唯一性和正解的存在性条件。3.带有积分边界条件的分数阶微分方程和耦合分数阶q-差分系统极值解的存在性问题。首先考虑了带有积分边界条件的分数阶微分方程的极值解,通过分析相应的格林函数的性质,再应用单调迭代原理以及一些不等式的技巧,由两个幂函数分别得出了两个迭代序列,最后证明了序列的极限即为系统的解。用该方法在证明过程中对非线性项只需满足局部连续和局部单调,弱化已有文献对非线性项的要求,并且得出了变号解满足的条件以及正解存在的充分条件。其次讨论了耦合分数阶q-差分系统极值解问题。主要通过构造两个算子,应用单调迭代原理得出极值解。和前一个系统不同之处在于,迭代初始函数是零函数和幂函数,证明方法比已有的文献简单且便于计算。4.含有左右分数阶导数的分数阶脉冲微分包含系统的多解性问题。主要通过构造合适的变分空间,并在其上建立恰当的泛函,将系统的解的问题转为相应泛函的临界点的存在性问题。应用变分法和非光滑临界点定理得出了该系统存在三个解的充分条件。