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积分方程的小波解法

林小燕  
【摘要】: 小波分析作为一门新兴的数学分支,它在理论及应用上涉及到了调和分析、泛函分析、数值逼近、微分方程及积分方程数值求解等诸多数学领域。所以被广泛地应用于各种领域。现在,小波分析已成为科学研究和工程技术应用中涉及面极其广泛的一个热门话题。 小波分析是Foureri分析的发展和完善。小波分析的发展是以解决实际问题为出发点,而后形成辐射多学科的理论体系,所以小波分析一次又一次形成研究热潮,成为国际研究热点。小波变换克服了传统Fourier变换的不足,在时域和频域都具有良好的局部化特性,小波在数值分析、信号处理、图像处理等领域有重要的应用价值。由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长,从而可以聚焦到对象的任意细节。从这个意义上讲,它被誉为数学显微镜,可以预料在未来将成为科技工作者经常使用的重要的数学工具。 积分方程出现在自然科学领域当中并且占有重要的地位。如何解积分方程,这是问题的关键,对于具体的积分方程(组),除非极为特殊的情形,很难求出它的精确解,因此数值解或近似解受到了众多研究者的极大关注。由于小波兼有光滑性和局部紧支撑性质,与传统的有限元、有限差分方法比较,能更好的处理积分方程的数值求解问题。在本文中我研究了小波分析在积分方程中的应用。本文所作的主要工作有: 1.介绍了小波和积分方程的一些基础理论,先给出了最简单的小波即Haar小波的定义和基本的一些性质,接着介绍由Haar小波构造出Haar小波的积分算子矩阵和乘积算子矩阵,再用Haar小波分解了Fredholm方程组和Voltrra方程组,再用算子矩阵对它们进行变换成为非线性的方程组,然后用配置法解出所得的两个方程组的数值解。最后给出了数字仿真图和表格,形象地给出了数值解和精确解的比较,所得的数值解随着级数m的增大而更加趋于精确,因此为了得到更精确的解,可以取更大的m值。 2.先给出了Legendre小波的定义和一些基本的性质,然后介绍了由Legendre小波构造出Legendre小波的积分算子矩阵和乘积算子矩阵,最后用Legendre小波分解了Fredholm方程组和Volterra方程组,再用算子矩阵对它们进行变换成非线性的方程组,然后用配置法解出这两种方程组的数值解。然后给出了数字仿真图和表格,形象地给出了数值解和精确解的比较,所得的数值解随着m和k的增大而更加趋于精确,因此为了要得到更精确的解,可以取更大的m和k值。


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