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《电子科技大学》 2009年
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大型稀疏线性系统迭代解法及应用研究

吴世良  
【摘要】: 在大规模科学计算与工程技术中,许多问题的解决最终都转化为大型稀疏线性系统的求解,如流体力学,计算电磁学,最优化问题,线性弹力学等.因而,大型稀疏线性系统的求解研究就具有重要的理论意义和实际的应用价值.本文对几类大规模稀疏线性系统迭代求解进行了深入而系统的研究,主要涉及矩阵分裂迭代法的收敛性及其比较理论和鞍点问题迭代求解预处理技术. 研究预处理AOR(SOR)及Gauss-Seidel迭代法.首先,分析修正预处理子结合Gauss-Seidel方法和AOR(SOR)方法对L-矩阵线性系统的收敛性,并给出比较结果,进而得到修正预处理子的最优结构.其次,探讨求解H-矩阵线性系统的预处理Gauss-Seidel迭代法的收敛性条件.最后,讨论求解由最小二乘问题形成的2×2块线性系统预处理AOR迭代法的收敛性. 研究HSS迭代法及HSS预处理技术.首先,对斜Hermitian/反-Hermitian(LHSS)迭代法和Hermitian/反-Hermitian(HSS)迭代法的比较,给出一个新优先择取LHSS迭代法或HSS迭代法的判据.其次,针对非Hermitian正定线性系统,提出修正HSS迭代法(MHSS)及其非精确的迭代法(IMHSS迭代法),分析二者收敛性条件.再次,将HSS预处理子应用于经典鞍点问题,探讨HSS预处理矩阵的谱分布,给出预处理矩阵特征值分布的一个新区域并获得其所有特征值为实数的一个新充分条件.最后,研究非零(2,2)块的广义鞍点问题HSS预处理子谱性质,弥补已有文献只针对(2,2)块是0的经典鞍点问题的缺陷,证明在适当条件下,如果广义鞍点问题的系数矩阵是非Hermitian的,那么对于一个充分小的正参数,HSS预处理矩阵所有特征值将聚集在(0,0)点和(2,0)点附近. 研究鞍点问题迭代法.主要包括以下5个方面:1.基于矩阵分裂,给出求解鞍点问题的一个迭代策略,并讨论该迭代法的收敛性;2.提出修正的对称逐次超松弛迭代法(MSSOR)求解鞍点问题,讨论其收敛性条件并获得迭代参数的最优因子; 3.分析广义鞍点问题含参数块三角预处理子的谱性质并获得预处理矩阵实特征值及复特征值新的分布区域;4.对混合型时谐Maxwell方程离散得到的经典鞍点问题,依据其特殊的结构,获得最优块对角和块三角预处理子,同时,提出一个新的单列非零(1,2)块的块三角预处理子并提高原块三角预处理子的应用范围;5.对混合型时谐Maxwell方程离散产生的(1,1)块不定的鞍点问题提出两类修正的免增广免Schur余预处理子,通过对预处理矩阵谱的分析,给出最优免增广免Schur余的块对角和块三角预处理子,数值实验证实了两类最优预处理子的有效性.
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