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对流扩散方程的有限差分法

孙玉晓  
【摘要】:对流扩散方程是一类基本的运动方程,它可以用来描述河流污染、大气污染、核废物污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中热的传导等众多物理现象。它可以用来对流扩散问题数值计算方法的研究具有重要的理论和实际意义,可用于环境科学、能源开发、流体力学和电子科学等许多领域。这些对流扩散型偏微分方程(或方程组)具有一个共同的特点:对流的影响远大于扩散的影响,即对流占优性。对流占优性给对流扩散问题的数值求解带来了许多困难,因此,对流占优问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容,用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。 本文基于偏微分方程的有限差分解法和特征有限差分法,首先说明了对流扩散方程背景,然后介绍了对流扩散方程的现有算法,继而利用紧致差分方法、特征有限差分法这两种方法深入研究常系数、变系数对流扩散方程的有限差分格式。在高精度紧致差分方法中,四阶紧致格式不需将对流与扩散过程分步考虑,且只涉及相邻网格点,能以较粗网格获取相当准确的结果。另外,本文针对对流扩散方程的对流占优问题,进行了较为系统的研究,利用特征有限差分法来求解这类问题,在原有算法的基础上,针对一维和二维区域上对流扩散方程,分别构造了几种基于线性和双线性插值的特征差分格式。特征有限差分法考虑对流扩散方程沿着特征线(流动方向)的离散,利用对流扩散问题的物理力学特征,可以有效的克服数值震荡,保证数值解的稳定。


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