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《西南大学》 2012年
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反应扩散种群系统解的存在性及定性分析

李成林  
【摘要】:反应扩散种群系统解的全局存在性及定性分析是当今生态数学研究的一个热点问题。本文证明了三类强耦合反应扩散捕食系统及一类强耦合反应扩散竞争系统解的存在性,并给出了四类反应扩散捕食系统解的定性分析。利用能量估计和Gagliado-Nirenberg不等式证明了一维空间上一般强耦合反应扩散捕食系统解的存在性;利用压缩映射原理,Holder连续,抛物方程的Schauder估计和Lp估计证明了一类带有两食饵趋向的三种群强耦合反应扩散捕食食物链系统及一类带有自扩散和食饵趋向的强耦合反应扩散捕食系统的古典解全局存在性;利用Pao关于非线性椭圆上下解的方法证明了一类强耦合反应扩散椭圆竞争系统解的存在性;利用特征值方法和构造Lypunov函数方法分别证明四类反应扩散捕食系统平衡点的局部稳定性及全局稳定性;通过构造与系统等价的紧算子,应用拓扑度的同伦不变性证明了三类反应扩散捕食系统的非常数定态解的存在性。本文分四章。 第一章,给出了生态背景知识,介绍了研究模型并说明研究背景。 第二章我们主要证明了三类强耦合反应扩散捕食系统古典解的全局存在性。 在第二章第一节,我们考察了具有留曼边界条件且带有Holling-Ⅱ功能性反应函数的一维空间上一般强耦合反应扩散捕食系统。利用能量估计和Gagliado-Nirenberg不等式建立了对任意时间解的W21的一致有界估计,从而证明了若此强耦合系统的系数满足某些条件,则此系统的解是全局存在的且是一致有界的。同时也考察了此系统正常数定态解的全局稳定性。 在第二章第二节,我们考察了具有留曼边界条件且带有Holling-Ⅱ功能性反应函数和两食饵趋向的三种群强耦合反应扩散捕食食物链系统。这一系统的主要特征是捕食者的速度在空间上的临时变化是由食饵梯度决定的。利用压缩映射原理,抛物方程的Schauder估计和p估计,证明了此系统存在唯一的全局古典解。 第二章第三节证明了在留曼边界条件下带有自扩散和食饵趋向的强耦合反应扩散捕食系统古典解全局存在性。除了自由扩散外,捕食者及食饵还有自扩散和食饵趋向。应用压缩原理,Holder连续,抛物方程Schauder估计及Lp估计,证明了此模型存在唯一全局古典解。 第三章主要考察了强耦合捕食系统正常数解的稳定性与分支及非常数正定态解的存在性。 第三章第一节考察了带有留曼边界条件且具有为食饵提供避难保护的避难项的反应扩散捕食模型。探讨了平衡点的稳定性及Hopf分支,且证明得到当避难常数充分小时正常数解是全局渐近稳定的,当避难常数在某两个正常数之间时半零解是全局渐近稳定的。再者,我们证明了此系统有周期解分支。 第三章第二节探讨了一类具有留曼边界条件且带有Holling-Ⅱ功能性反应函数的作用系数适中的反应扩散捕食系统。考察了此系统平衡点的稳定性及非常数正定态解的存在性。并得到:当食饵的环境容纳量大于某正常数且作用系数介于某两个较小的正常数之间时,唯一正解全局渐近稳定的;当食饵的环境容纳量大于某正常数且作用系数介于某两个较大的正常数时,在一定条件下此系统至少有一个非常数定态解(解决了文献[1]中的开问题);当食饵的环境容纳量小于某正常数时,则唯一正解全局渐近稳定的。再者,当作用系数充分小时,半零解是全局渐近稳定的。最后,当满足一定条件时正常数解处有周期解分支。 第三章第三节考察了一类具有留曼边界条件的一般强耦合反应扩散捕食系统。利用拓扑度的同伦不变性证明并得结论此系统的共存态是由交叉扩散系数引起的,即,在一定条件下此系统有非常数定态解,而没有交叉扩散的对应系统没有非常数定态解(其唯一正常数解是全局渐近稳定的)。 在第三章第四节中,我们考察了一类具有留曼边界条件的强耦合反应扩散Leslie捕食系统。探讨了非常数定态解存在和不存在的充分条件。证明得到在一定条件下当捕食者的自由扩散系数充分大而交叉扩散系数固定时,此系统有非常数定态解。再者也证明得到当捕食者和食饵的自由扩散系数都充分大而交叉扩散系数充分小时,此系统没有非常数定态解。 在第四章中,我们探讨了一类具有齐次Dirichlet边界条件下的强耦合反应扩散椭圆竞争系统。考察了此系统正解的存在性和不存在性。利用Pao关于非线性椭圆上下解的方法找到了当交叉系数充分小时正解存在的充分条件。同时利用庞加莱不等式找到了正解不存在的充分条件。
【学位授予单位】:西南大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:Q14

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