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《西南大学》 2017年
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捕食与竞争模型的行波解及其传播速度

张泽薇  
【摘要】:本文建立了三个反应扩散方程模型:食饵-两捕食者的Lotka-Volterra模型,具有非局部时滞具一般功能反应的食饵-捕食者模型及受气候变化影响的两竞争种群模型.研究分析了模型行波解的存在性及不存在性,得到了模型的最小波速,从而得到了种群共存或灭绝的条件,为生物控制提供了理论依据.下面分章节介绍:第一章是引言部分,主要介绍了问题研究的背景,所用的方法以及国内外研究现状.第二章基于竞争排斥原理建立一个食饵-两个捕食者的反应扩散模型,研究行波解存在性(意味着种群的成功入侵),以及最小波速,从而得到优势种群以多大的速度将劣势种群排斥.由于两个捕食者之间没有直接竞争关系,而是通过捕食同一种食饵间接竞争,功能反应函数为Lotka-Volterra类型,所以系统不存在正平衡点,只存在三个边界平衡点.边界平衡点的三元组不满足正常的序关系,因此上下解方法无法适用于该模型.另一方面,捕食-食饵系统显然不是单调系统,关于行波解的单调性方法也失效了.我们利用改进的高维空间打靶法,将系统转化为一个五维的ODE系统,在R5空间上构造一个类似Wazewski集合的不变区域,应用高维空间打靶法和Lyapunov函数及La Salle不变原理得到了行波解的存在性.第三章建立了带有非局部时滞的具一般功能反应的捕食者-食饵系统.在自然界中,时间滞后和空间扩散现象都是普遍存在的.许多研究者综合考虑时间滞后和空间扩散对微分方程的动力学行为的影响,体现在非线性项结合了对过去时间和整个空间的加权平均,得到了一类新的无穷维动力系统,即非局部时滞反应扩散方程.与(时滞)反应扩散方程相比,非局部时滞反应扩散方程能更准确地反映实际问题,但是时滞和空间的非局部性也带来了数学理论分析上的困难,并带来了复杂的动力学行为.因此,对这类方程的研究具有重要的理论价值和现实意义.对于带有非局部时滞具一般功能反应的捕食者-食饵系统.由于非局部时滞项,增加了求解特征值的困难:同时具有一般功能反应及非局部时滞,使得Lyapunov函数的构造非常困难,我们研究弱行波解的存在性和持续性,以及最小波速,并考察时滞对其影响.我们用到的方法是上下解方法:(1)首先利用线性化系统得到最小正的特征值来构造合适的上下解,从而可以构造一个闭、凸的不变区域;(2)将系统转化为积分算子方程,验证算子方程的不变性;(3)利用Schauder不动点定理得到算子方程的不动点,即得到原系统的行波解;(4)通过单边Laplace变换,反证得到行波解不存在的条件,结合(3)得到最小波速.最后利用Hale和Waltmann的持续性理论得到弱行波解的持续性.第四章建立受气候变化影响导致适合度随之变化的竞争种群的反应扩散系统模型,研究不同的转移速度对种群持续、灭绝、竞争排斥的影响.人们日渐意识到全球气候变化对生态系统的影响是复杂且深远的,全球气候变化改变了环境的适宜度,从而影响了种群的分布.了解并能预测气候变化带来的生态效应(积极的效应,负面的效应)是件非常重要而且迫切的事情.负面、消极的效应主要就是多样性的消失,包括基因的、种群的、功能的多样性,随之会带来灭绝.物种和种群是否能够在局部或全局持续生存取决于他们适应未来气候变化的能力.就是说,他们适应变化的能力能不能赶得上环境变化的速度.因此,建立合适的反映气候变化影响的种群模型并研究其传播速度就具有非常重要的理论价值和现实的指导意义.我们考察的受气候变化影响的竞争种群模型,种群的增长函数项不仅与位置和时间有关系,还与受气候变化影响导致的栖息地边界的转移速度有关,这就大大增加了解决问题的难度.我们利用数学分析的技巧和方法得到了每个种群的入侵波速,分析了种群的灭绝、竞争排斥、共存等问题.最后通过数值模拟来验证我们的结论.本文的创新点如下:1.第一个创新点就是高维空间打靶法.第二章,在R5空间上的几何分析比在R3空间上更加复杂,据我们所了解,在R5空间上用打靶法研究行波解,我们是首次尝试.另外,不同于其它常见的连接零平衡点和正平衡点的行波解或者连接零平衡点和边界平衡点的行波解,我们还分析了连接两个边界平衡点的行波解,这种情况在已有文献中也是很少见的.2.第二个创新点就是对具有年龄结构的捕食者-食饵的时滞常微分方程模型通过将时间和年龄看作各自独立的分量,利用解von Foerster方程严格推导出带有非局部时滞的具一般功能反应的捕食者-食饵的反应扩散系统.之前已有的此类模型或者只是简单地加了一个扩散项,或者是仅仅考虑了功能函数为Holling I型的模型,因此我们的模型更合理,更具有一般性.3.第三个创新点就是新颖的模型.在气候变化的背景下研究种群的入侵动力学目前还处于起步阶段.已有的研究非均匀环境的种群模型中,增长函数项或者只与空间位置有关,或者只与时间有关,而我们模型中的种群的增长函数项(i.e.r(x-ct))不仅与位置和时间有关系,还与受气候变化影响导致的栖息地边界的转移速度有关,这很好地刻画了实际问题,但也大大增加了解决问题的难度.
【学位授予单位】:西南大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O175

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