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《西南大学》 2008年
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局部对偶平坦的Finsler度量

周宇生  
【摘要】: 对偶平坦的流形是微分几何中一类重要的研究对象,应用非常广泛,在信息几何,相对论,超弦理论中有重要的应用。沈忠民教授曾从Finsler几何的角度对信息几何做了很多研究.但要从Finsler几何出发研究信息几何,就必须先研究对偶平坦或局部对偶平坦的Finsler度量。而在目前已知的Finsler度量中,只有Fuck度量和局部闵可夫斯基度量是局部对偶平坦的。在局部对偶平坦的Finsler度量研究中,我们首先应该研究Randers度量和(α,β)-度量,在此基础上再推广到一般的Finsler度量。本文主要研究了局部对偶平坦的Randers度量和平方Randers度量的性质,获得以下结论: 定理3.3(M,F)是n(≥3)维的Finsler空间,F是局部射影平坦的,则以下条件等价: (1)F是局部对偶平坦; (2)P=c(x)F; (3)F_(x~l)=2PF_(y~l); (4)F_(x~l)=2c(x)FF_(y~l). 其中P=(F_(x~k)y~k)/(2F)是F的射影因子。 将定理3.3的结果应用到非Randers度量的(α,β)-度量,我们有下面的结论: 定理3.4(M,F)是(n≥3)维的Finsler空间,F=α(?)(s)是(α,β)度量.其中α:=(a_(ij)y~iy~j)~(1/2)是黎曼度量,β:=b_iy~i是1形式,s=β/α。且(?)≠k_1(1+k_2s~2)~(1/2)+k_3s。则F是局部对偶平坦且局部射影平坦的当且仅当F是局部闵可夫斯基度量。 定理4.1(M,F)是n(≥3)维Finsler空间。F=α+β是Randers度量,其中α:=(a_(ij)y~iy~j)/(1/2)是局部射影平坦的黎曼度量,β:=b_iy~i是1形式,则F是局部对偶平坦的当且仅当F是下列情形之一: (1)F是局部闵可夫斯基度量; (2)F局部等距为 其中μ=-4c~2,c是一常数. 当c=1/2时,(F|^)是Fuck度量. 定理4.2(M,F)是n(≥3)维Finsler空间。F=α+β是Randers度量,其中α:= (a_(ij)y~iy~j)/(1/2)是黎曼度量,β:=b_iy~i是闭的1形式,则F是局部对偶平坦的当且仅当其满足:(1)b_(i|j)=(?)/2(a_(ij)-b_ib_j)+2(?)(b_ib_j-b~2a_(ij));(2)G_α~m=θ_y~m+(?)α~2b~m-(?)β_y~m 其中(?)=(?)(x),(?)=(?)(x)是标量函数,θ=(6(?)+(?))/2β。 当(?)=0时,F可以局部等距为其中μ=-4c~2,c是一常数。如果c=1/2,则此时(F|^)是一Fuck度量。 定理5.1(M,F)是(n≥3)维的Finsler空间,F=((α+β)~2)/α是平方Randers度量,其中α:=(a_(ij)y~iy~j)/(1/2)是局部射影平坦的黎曼度量,β:=b_iy~i是1形式,s=β/α。则F是局部对偶平坦的当且仅当F是局部闵可夫斯基的。 定理5.2(M,F)是(n≥3)维的Finsler空间,F=((α+β)~2)/α是平方Randers度量,其中α:=(a_(ij)y~iy~j)/(1/2)是黎曼度量,β:=b_iy~i是闭的1形式,s=β/α。则F是局部对偶平坦的当且仅当F是局部闵可夫斯基的。
【学位授予单位】:西南大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2008
【分类号】:O186.1

【共引文献】
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1 郭恩力;朱红梅;;一类新的射影平坦的Finsler度量[J];北京工业大学学报;2011年08期
2 ;Some constructions of projectively flat Finsler metrics[J];Science in China(Series A:Mathematics);2006年05期
3 ;Some projectively flat (α,β)-metrics[J];Science in China(Series A:Mathematics);2006年06期
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8 叶萍恺;;射影平坦Finsler度量的解析构造(英文)[J];数学进展;2008年01期
9 张剑锋;;关于一类Finsler流形的共形变换[J];数学物理学报;2011年03期
10 周宇生;;局部对偶平坦的Randers度量[J];数学物理学报;2011年04期
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