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《西南大学》 2009年
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关于欧氏空间R~(n+1)中超曲面的几个问题

畅敏  
【摘要】: 几何学研究空间中几何元素(如凸集,曲面,子流形等)的大小(内在不变量)和弯曲程度(外在不变量),即体积和曲率,这是最基本的研究对象.反过来体积与曲率之间的等式或不等式也决定了几何元素的性质.在微分几何中,超曲面作为一类特殊的微分子流形,是微分几何理论研究中一个相当活跃的领域.特别是在R~(n+1)中超曲面的研究比较丰富.E.Cartan活动标架法对于一般流形的研究则使微分几何进入了一个新的时代.它是研究微分流形的一个重要工具.对于R~(n+1)中超曲面的研究,主要研究其r阶中曲率H_r,r=1,…,n(关于主曲率的初等对称多项式),尤其是对中曲率H_1,纯量曲率H_2,和Gauss-Kronecker曲率H_n的研究.当n=2时,即在R~3中,就是我们常说的中曲率H,和Gauss曲率K.对于R~3中的曲面,Gauss的一个惊人发现是:Gauss曲率是一个内在不变量.而Liebmann得到:R~3中高斯曲率为常数的紧致连通曲面是球面.陈省身则利用以下两个引理给出了Liebmann定理的一个简单证明. 引理3.2设M是R~3中处处为脐点的连通曲面,则M必为球面或平面的一部分. 引理3.3设M是Gauss曲率K为常数的紧致曲面,则K必大于零. 这两个引理可推广到超曲面情形: 定理3.4设M是欧氏空间R~(n+1)中完备连通的超曲面,若M是全脐点的,则M是超平面,或是n维超球面. 定理3.5设M是欧氏空间R~(n+1)中Gauss-Kronecker曲率H_n为常数的紧致超曲面,则H_n必大于零. 本文根据陈省身思想运用活动标架法对这两个定理给出简化证明.
【学位授予单位】:西南大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O186.12

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