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变分不等式系统解的存在性和算法

潘正涛  
【摘要】:变分不等式理论是应用数学中一个十分重要的研究领域,它在混合最优化理论、微分方程、控制论、对策论、社会经济平衡理论等领域有着广泛的应用.在变分不等式理论中,用于求逼近解的迭代算法是最有趣和最重要的问题之一.对于此类问题的研究,主要包含以下两类变分不等式:(1)第一类是混合变分不等式,它包含一个混合项,是变分不等式的重要推广;(2)第二类是非凸变分不等式,它是Noor [52-54]等人最近几年提出的一类新的变分不等式问题.为此本文在混合变分不等式和非凸变分不等式的基础上提出了两类新的变分不等式系统一广义混合变分不等式系统和广义正则非凸变分不等式系统,并分别利用预解算子技巧和投影算子技巧对这两类变分不等式系统进行了研究.本文的内容具体安排如下:第一章,概述变分不等式理论的历史背景,并简要介绍了本论文的一些研究工作.第二章,介绍了一些已有的与本文相关的知识,包括一些定义及结论.第三章,本章考虑如下带有六个非线性算子的一类新的广义混合变分不等式系统,简记为(SGMVIP):利用预解算子方法我们考虑了(SGMVIP)解的存在性问题和解的逼近问题.首先,利用预解算子方法建立了(SGMVIP)和不动点问题之间的等价性.其次,利用这种等价性给出了(SGMVIP)的平行迭代算法,进而证明了(SGMVIP)解的存在性和该算法的收敛性.然后,给出了(SGMVIP)的一种松弛迭代算法并证明了其收敛性.最后,我们对(SGMVIP)提出另一种共同元迭代算法,该算法产生的迭代点列的极限点就是(SGMVIP)的解集和两个Lipschitzian映像的交集.第四章,本章考虑如下带有四个非线性算子的一类新的广义正则非凸变分不等式系统,简记为(SGRNCVIP):利用投影算子方法我们考虑了(SGRNCVIP)解的存在性问题和解的逼近问题.本章建立了(SGRNCVIP)和不动点问题之间的等价性.在适当的条件下证明了(SGRNCVIP)解是存在的.利用这种等价性我们给出了(SGRNCVIP)的平行迭代算法、松弛迭代算法,利用这些算法我们考虑了(SGRNCVIP)解的逼近问题.第五章,对本文的研究进行总结并对后续的研究工作作出了展望.


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