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比例移动最小二乘近似及其在无单元Galerkin方法中的应用

王青青  
【摘要】:由于网格的初始划分和重构工作,显得冗杂、耗时,因此数值求解微分方程近似解的无网格方法在近二十年来得到了蓬勃发展。无网格方法采用基于点的近似,可以有效克服传统数值方法依靠网格带来的缺点。形函数是无网格方法的基石,移动最小二乘近似是构造形函数最重要的方法之一。在移动最小二乘近似中,系数矩阵的条件数可能会变得很大。因此,对系数矩阵取逆可能导致在计算稳定性和计算精度等方面的下降,这一问题也将对无单元Galerkin方法带来影响。为了克服由移动最小二乘近似带来的病态性,本文首先介绍了比例移动最小二乘近似。相较于移动最小二乘近似,比例移动最小二乘近似具有更高的计算精度和更稳定的数值结果。然后,详细分析了比例移动最小二乘近似逼近函数及其任意阶导数的最优阶误差估计。为了提高无单元Galerkin方法的稳定性,我们还将比例移动最小二乘近似应用到无单元Galerkin方法中,分析了求解线性椭圆边值问题。最后,我们给出了数值算例来验证理论分析结果,所有的算例都得到了收敛的数值解,并且数值收敛率与理论分析结果吻合得很好。本文第一章介绍了无网格方法,回顾了数值方法的发展历程,简述了移动最小二乘近似的研究进展。第二章介绍了移动最小二乘近似的基本原理以及与最小二乘方法的比较。第三章是本文的一个主要工作,通过选择比例基函数,构造了比例移动最小二乘近似,分析了比例移动最小二乘近似的误差估计,并给出了数值算例来验证理论分析结果。通过与移动最小二乘近似进行比较,表明比例移动最小二乘近似具有更好的数值稳定性。第四章是本文的另一个主要工作,我们理论分析了无单元Galerkin方法中求解线性Robin边值问题和线性Dirichlet边值问题的误差,并通过算例验证了理论分析的正确性。最后一章对本文工作进行了研究总结和展望。


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