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关于不定方程x~3±8=Dy~2

黄勇庆  
【摘要】: 不定方程不仅自身发展活跃,而且全面的应用于离散数学的其它各个领域。它对于人们学习研究和解决实际问题有重要的指导作用。因此,国内外有不少学者对不定方程进行了广泛而深入的研究。 关于不定方程x~3±8= Dy~2,其中D0,已有不少的研究,当D没有6k + 1的素因数时,两个方程的全部整数解已经解决。但是当D不含平方因子,并且被3或者6 k + 1型素因数整除时,方程的求解比较困难。不定方程x~3±8= Dy~2,当0D50,并且D不含平方因子,能被3或者6k+1型素因数整除时,当D= 13,21,31,35,37,39,43时它们的解还没有解决。 本文主要利用递归数列、同余式、Maple程序以及Pell方程的解的性质、平方剩余,主要证明了七组不定方程x~3±8= Dy~2( D = 13,21,31,35,37,39,43)的所有整数解。本文分四章来说明:第一章介绍关于不定方程x~3±8= Dy~2的国内外的研究现状;第二章介绍了全文的预备知识,对Pell方程的解的性质、递归数列和同余式的方法都有简单的介绍;第三章是全文的重点,具体证明了不定方程x~3±8= Dy~2(D = 13, 21,31,35,37,39, 43)的所有整数解。分别证明了不定方程x~3 + 8 =13y~2仅有整数解(x,y)=(-2,0),不定方程x~3-8 =13y~2仅有整数解(x,y) = (-2,0), (5,±3) (6,±4), (626,±4344);不定方程x~3 + 8 = 21y~2仅有整数解(x,y)=(-2,0),不定方程x~3-8 = 21y~2仅有整数解(x,y) = (2,0);不定方程x~3 + 8 = 31y~2仅有整数解(x,y)=(-2,0),不定方程x~3-8 = 31y~2仅有整数解(x,y) = (2,0);不定方程x~3 +8 =35y~2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(3,±1),不定方程x~3-8 = 35y~2仅有整数解(x,y) = (2,0);不定方程x~3 + 8 = 37y~2仅有整数解(x,y)=(-2,0),不定方程x~3-8 = 37y~2仅有整数解(x,y) = (2,0);不定方程x~3 + 8 = 39y~2仅有整数解(x,y)=(-2,0),不定方程x~3-8 =39y~2仅有整数解(x,y) = (2,0);不定方程x~3 + 8 = 43y~2仅有整数解(x,y) = (-2,0), (14,±8),不定方程x~3-8 = 43y~2仅有整数解(x,y) = (2,0)。第四章对全文作了一个总结,并对这类不定方程未来的发展方向提出了一些有待研究的问题。 本文的主要结果在第三章。


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