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《西华师范大学》 2019年
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一维Burgers方程的几种有限差分解法

陈莲  
【摘要】:在计算流体力学中,Burgers方程是一种重要的非线性偏微分方程。该方程在对流和扩散两种状态下均存在,保持了Navier-Stokes方程的基本特性,是求解复杂流体力学问题的简化模型。从1915年提出以来,一直受到理论物理学家、计算数学家及工程师们的关注。本文基于有限差分方法,探讨Burgers方程的数值求解,运用抛物型偏微分方程基本理论及数值分析原理,结合MATLAB编程,通过算例验证其理论结果。全文分五部分阐述。第一章,介绍Burgers方程的研究背景和研究价值,以及国内外研究现状,指出本文研究的主要工作及意义。第二章,采用Hopf-Cole变换将Burgers方程转化为热传导方程,用Crank-Nicolson格式求解。重点引入虚拟节点处理Robin混合边界条件,使用辛普森积分提高初值精度,使数值解在时间、空间均达到二阶精度。为进一步提高空间方向精度,应用紧差分算子,不增加节点达到四阶精度。第三章,对非线性项处理,绕开向前差分的古典显格式计算,用泰勒展开式得到时间上的二阶精度,结合C-N格式,实现稳定的离散计算。通过使用Richardson方法,实现时间、空间的四阶精度。第四章,通过算例计算,分别验证第二、三章各差分格式的有效性,验证收敛阶、分析比较两种数值方法的精度。第五章,简要总结本文提出的Burgers方程的两种数值解法。在求解高维Burgers方程及高精度方法等方面确立将来研究方向。
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