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《贵州大学》 2016年
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一类带有Stieltjes积分方程解的存在性及计算

张志  
【摘要】:积分方程由于其广泛的工程应用背景,其研究一直被广泛的数学工作者和工程技术人员关注.近20年来,由于分数阶微分方程和积分方程研究的兴起,伴随其的VolterraStieltjes泛函积分方程也成为了研究的热点.本文在总结近年来Volterra-Stieltjes积分方程解研究的基础上,讨论了一类Stieltjes泛函型积分方程解的定性理论.通过引入非紧测度和应用Darbo不动点定理证明了方程解的存在性,在给出Ulam-Hyers稳定性概念的基础上,证明了方程解的稳定性;进而,论文给出了三种求解一类简单的Stieltjes积分方程数值解的算法,分析了数值算法的收敛性和稳定性,并通过数值算例说明了几种算法的有效性.本论文的主要创新点如下:1、借助于前期研究者将代数学中的Ulam稳定性概念引入到分数阶微积分方程Ulam-Hyers和Hyers–Ulam–Rassias稳定性讨论的思路,在Stieltjes积分方程解的稳定性研究中引入Ulam-Hyers(UH)型稳定性概念,证明了其解的Ulam-Hyers型稳定性.2、由于Stieltjes积分方程具有非局部性质,因此在通常的计算中涉及计算量较大,我们在给出基于分段线性插值和差分方法近似格式的基础上,构造了改进算法,得到了计算格式简化的一种算法.3、分数阶微分方程和积分方程数值计算中的一个困难问题是其计算格式稳定性的讨论,现有大多数文献中方程数值格式稳定性的讨论仅有抽象的结论,难于验证,有的甚至是不稳定格式.论文第六章中Stieltjes积分方程改进数值算法,有较好的稳定性,给出了保证格式稳定性易于检测的条件.文中非线性方程数值格式的构造和稳定性讨论方法,可以用于分数阶微分方程和积分方程中.
【关键词】:Stieltjes积分方程 有界变差函数 Darbo不动点定理 Ulam-Hyers稳定性 数值计算方法 收敛性 算法稳定性
【学位授予单位】:贵州大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O175.5
【目录】:
  • 摘要4-5
  • Abstract5-7
  • 第一章 引言7-11
  • 1.1 研究背景7-8
  • 1.2 研究现状8-10
  • 1.3 主要研究内容和结构安排10-11
  • 第二章 基础知识11-14
  • 第三章 Stieltjes积分方程解的适定性研究14-28
  • 3.1 有界变差函数的性质14-19
  • 3.2 解的存在性19-24
  • 3.3 Ulam-Hyers稳定性24-26
  • 3.4 例子26-28
  • 第四章 基于线性插值的数值算法28-40
  • 4.1 问题描述28
  • 4.2 数值算法28-31
  • 4.3 误差分析31-36
  • 4.4 稳定性分析36-38
  • 4.5 数值算例38-40
  • 第五章 基于差分法的数值算法40-48
  • 5.1 数值算法40-42
  • 5.2 误差分析42-45
  • 5.3 稳定性分析45-46
  • 5.4 数值算例46-48
  • 第六章 隐格式算法48-57
  • 6.1 数值算法48-50
  • 6.2 误差分析50-52
  • 6.3 稳定性分析52-56
  • 6.4 数值算例56-57
  • 第七章 总结及进一步研究工作57-58
  • 参考文献58-63
  • 致谢63-64
  • 攻读硕士学位期间科研和论文情况64-65

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