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《贵州大学》 2006年
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多元离散型样本协方差阵的正定性

缪建群  
【摘要】:随着计算能力的提高,量化分析已广泛应用于社会、经济、管理等领域.其特点为调研时,通常应用离散型数据对样本的定性指标进行量化([4]、[20]、[22]、[24]、[27]),因此希望通过分析离散数据来建立一套抽样调查的优化设计方案。研究离散型样本协方差矩阵的正定性有助于判断是否可以降低样本的维数,有利于优化抽样个数,为抽样调查的优化设计方案提供一定的理论基础;为基于特征根的多元统计分析提供理论指导。 然而,目前国内外有关协方差矩阵正定性的研究结果并不多,并且大多是集中在连续型样本协方差矩阵方面。1970年,Dykstra用正交矩阵左乘以样本资料阵,把样本协方差矩阵的正定性转化为变量间的线性无关性,并结合正态分布的性质,证明了独立且服从同一正态分布的样本协方差矩阵概率为1正定的充要条件是n>p(其中n为抽样的个数,p为变量的个数)。1990年,谢平民、陈图豪运用矩阵的初等变换和建立一个零测度集,研究了连续性样本在没有要求服从同一分布的情况下,样本协方差阵概率为1正定的充要条件也是n>p。对于变量取离散数据的样本协方差矩阵的正定性,很少有学者进行研究。 本论文通过引入p-向量配、I-线性组合及它们的性质,研究离散型样本协方差矩阵的正定性问题。推出了离散型样本协方差矩阵正定的充要条件,得到了求离散型样本协方差矩阵正定概率的模型,建立了特殊情况下的抽样优化模型。并通过比较两者的正定性条件,总结出离散型与连续型样本协方差矩阵的不同之处。 本论文在理论上,主要得出两个新的结果:ⅰ)抽样调查中,若样本的个数少于变量的个数则样本协方差矩阵恒为非正定;ⅱ)离散型样本协方差矩阵正定的充要条件是样本资料阵的各随机列向量是非I-线性组合。从而本论文推广了连续型样本协方差矩阵的正定性。在应用上,建立了离散型样本协方差矩阵正定的概率模型;提出了一种新的优化抽样调查设计方案,优化了抽样个数。
【学位授予单位】:贵州大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2006
【分类号】:O212.4

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【参考文献】
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