向量拟平衡问题解的稳定性

【摘要】： 在第一章中，介绍了平衡问题的研究背景、发展状况和稳定性的研究状况。平衡问题是系统研究中一个重要的概念，很多问题都可以化为平衡问题，如优化问题、Nash平衡问题、互补问题、不动点问题、鞍点问题以及变分不等式等。在这一章节里，详细地介绍了平衡问题的一般类型及其推广类型，并介绍了近年来出现的新类型，即隐向量平衡问题和对偶向量平衡问题。由于稳定性的研究无论在理论中还是在实际应用中都很重要，本章系统地介绍了稳定性研究中通有稳定性和本质连通区的研究状况和相关结果。 在第二章中，介绍了在后面的讨论中需要用到的一些基本概念和基本引理。主要介绍了向量锥及其性质、集值映射的连续性与凸性以及泛函分析、拓扑学中的一些基本概念和引理等，并介绍了某些概念之间的相互关系。 在第三章中，讨论了向量拟平衡问题解的通有稳定性。我们知道，在复杂系统中，有关问题的解未必具有稳定性(例如：通常的非线性问题[0，1]上的恒等映射的不动点集中就没有本质不动点或说任何不动点都不稳定)，因而有必要退一步研究其通有稳定性。在这一章节里，先在满足满足一定连续性和凸性条件的向量拟平衡问题构成的空间M上，加一些条件建立度量，并证明了此空间的完备性。进一步在此完备度量空间上建立一usco映射，利用usco映射的性质、Fort引理和本质解之间的关系，得到了大多数(在Baire分类意义下)向量拟平衡问题的解是稳定的，并举例说明了某些向量拟平衡问题的任一解是不稳定的。 在第四章中，讨论了向量拟平衡问题解集的稳定性，即向量拟平衡问题解集的本质集和解集的本质连通区。由于些向量拟平衡问题的解是不稳定的，甚至其任一解都是不稳定的，因此我们转而考虑解集中是否存在稳定的一个子集，即对解集进行选择和精练。证明了在以集合包含关系为偏序关系的情况下，向量拟平衡问题解集里至少存在一个极小本质集，并且在集值映射满足一定的连续性、凸性等条件下，每一极小本质集都是连通的。我们的结果包含了某些文献中已有结果。