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压缩变换半群及其性质

欧阳建新  
【摘要】: 半群理论是一门年轻的学科,一直以来人们都在对它进行深入的研究。它在许多领域都有着广泛的用途,比如计算机科学,自动机理论,编码和密码理论等等。随着时代的发展,半群理论越来越呈现出强大的活力和广泛的用途。 在半群理论中,由于任何一个抽象半群都能嵌入到一个变换半群中,所以变换半群总是一个充满活力的课题。就从理论而言,对于半群理论的研究,只要研究变换半群就足够了。 一直以来,由于有限变换半群优良的可计算性和一系列的组合性质使其受到广大半群学者的青睐。J.A.Green在1951年首次研究了格林关系,格林关系在半群理论的发展中扮演着基础性作用的角色,特别是在有限变换半群理论的发展中。许多的学者对全变换半群和它的一些子半群进行了深入的研究。例如,Hoiwe[5-9],游泰杰[23-27],裴惠生[12-16],杨秀良[18-22]等等。 设d(x,y)是X上的距离函数,也就是,函数d:X×X→R,且满足以下几个条件:(1)d(x,y)≥0,(?)x,y∈X且d(x,y)=0(?)x=y;(2)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y),(?)x,y,z∈X;(3)d(x,y)=d(y,x).对(?)x,y∈X,用|x-y|表示d(x,y).T_X表示集合X上的全变换半群,在第2章中,研究T_x的一类新子半群,压缩变换半群C(S)_X.即C(S)_X={α∈T_X:(?)x,y∈X,d(xα,yα)≤d(x,y)} 2.2节讨论了C(S)_n的格林关系,2.3节讨论了C(S)_n的正则子半群R(C(S)_n)。在第3章中,研究T_X的一类新子半群,保序压缩变换半群OC(S)_X的格林关系.即OC(S)_X={α∈O_X:(?)x,y∈X,d(xα,yα)≤d(x,y)} 主要结论如下: 第一章给出了半群理论的一些基本概念。 定理2.1.4设α∈C(S)_n,记α=(?),A_iα=a_i,i=1,2,…,r,则a_i=a_i+(i-1),i=1,2,…,r.即α=(?),A_iα=m+i-1,i=1,2,…,r. 定理2.1.5设α∈C(S)_n,若α=(?),A_iα=m+i-1,i=1,2,…,r,则α是幂等元(?)m+i-1∈A_i,i=1,2,…,r. 命题2.1.6设ε=(?)(2≤m≤n-k)是C(S)_n的幂等元,则在C(S)_n中存在幂等元η_1;η_2使得ε=η_1η_2. 定理2.2.7任给α,β∈C(S)_n,若(α,β)∈L,则X_nα=X_nβ. 定理2.2.8任给α,β∈C(S)_n,若X_nα=X_nβ且α~β,则(α,β)∈L. 定理2.2.9任给α,β∈C(S)_n,(α,β)∈R(?)π(α)=π(β). 定理2.2.10任给α,β∈C(S)_n,若(α,β)∈D,则|X_n(α)|=|X_n(β)|. 定理2.2.11任给α,β∈C(S)_n,若|X_n(α)|=|X_n(β)|且α~β,则(α,β)∈D. 推论2.2.12任给α,β∈C(S)_n,(α,β)∈H(?)π(α)=π(β)且X_n(α)=X_n(β),α~β. 定理2.3.1任给α∈C(S)_n,α是正则元(?)存在{A_i:i∈I)的一个连续截面A. 命题2.3.4任给α,β∈R(C(S)_n),则αβ∈R(C(S)_n)(?){a_1,a_2,…,a_r)是{B_1,B_2,…,B_r)的截面,其中a_i∈X_nα. 命题2.3.5任给α,β∈R(C(S)_n),则下述条件等价:(1)(α,β)∈L;(2)X_nα=X_nβ;(3)存在π(α)的一个连续截面A. 命题2.3.6任给α,β∈R(C(S)_n),则(α,β)∈R(?)π(α)=π(β). 命题2.3.8任给α,β∈R(C(S)_n):则(α,β)∈D(?)|X_n(α)|=|X_n(β)|. 推论2.3.9任给α,β∈R(C(S)_n),则(1)(α,β)∈H(?)X_nα=X_nβ且π(α)=π(β).(2)(α,β)∈J(?)(α,β)∈D. 定理3.1设α∈OC(S)_n,则Xα=[m_α,M_α]∩X. 推论3.2设α=(?)∈OC(S)_n,则a_(i+1)-α_i=1,A_iA_(i+1),i=1,2,…,r-1. 定理3.4 (?)α,β∈OC(S)_n,则下述条件等价:(1)(α,β)∈L;(2)Xα=Xβ,and (?)m_αa_iM_α,|a_iα~(-1)|=|α_iβ~(-1)|;(3)(?)_(?)∈π(β,α),(?)|_(Z(β))是双射,且(?)~*α=β. 定理3.5 (?)α,β∈OC(S)_n,则下述条件等价:(1)(α,β)∈R;(2)π(α)=π(β);(3)(?)_(?):Xα→Xβ是双射,且β=α(?). 定理3.7 (?)α,β∈OC(S)_n,则下述条件等价:(1)(α,β)∈D;(2)|Xα|=|Xβ|且|(m_α+k)α~(-1)=|(m_β+k)β~(-1)|,k=1,2,…,M_α-m_α-1;(3)(?)_(?)∈π(β,α),(?)|_Z(β):Z(α)→Z(β)是保序双射. 第四章给出了一些后继课题。


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