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具有稳定子集的有限奇异变换半群的结构与性质

高荣海  
【摘要】: 在半群研究的众多分支中,对变换半群理论的研究是半群代数理论中极为重要的一个研究方向,这源于变换半群的理论研究价值以及广泛应用性.近几十年来,关于变换半群及其子结构的研究,一直倍受学者门的广泛关注,而且已经有了许多重要的结果.本文考虑了奇异变换半群的一类子半群. 设X_n为n元有限集, Sing_n表示X_n上的奇异变换半群, A为X_n的任意非空子集,令则S(X_n,A)是Sing_n的一个子半群.本文主要研究半群S(X_n,A)的(广义)Green关系,幂等元生成性质以及一些组合计数问题. 第一章描述了一些本文中需用到的基本概念及符号,证明了对任意A,B(?)X_n且|B|=|C|,有S(X_n,B)(?)S(X_n,A). 第二章研究了半群的S(X_n,A)的Green关系,得到了L,R,D关系的等价刻划,以及正则元间Green关系的等价刻划. 第三章描述半群S(X_n,A)的Green's~*关系,得到L~*,R~*,D*关系的等价刻划,并证明了S(X_n,A)(1<|A|<n)是有n-1个D~*类的非正则富足半群,且D~*=(?). 在第四章首先考虑了E(J_(n-1)~*)的图论性质,通过引入游泰杰在文[33]中的极大强完备的定义,证明了与E(J_(n-1)~*)相关联的有向图是极大强完备的.其次确定了J_(n-1)~*中所有由幂等元生成的元素.设F_A={α∈R_e~*:e∈I_1,且aα=a,(?)∈A},F_(X_n\A)={α∈R_e~*:e∈I_2,且aα=a,(?)∈X_n\A},T={α∈R_e~*:e∈I_2且A(?)imα},证明了在J_(n-1)~*中仅有这3种类型的元素可由幂等元生成. 第五章给出了半群S(X_n.A)中一些子集的组合结果.设S(I_1∪I_2)表示J_(n-1)~*中所有由幂等元生成的元素的集合,S~i={α∈S(X_n,A):|imα∩A|=i}(i=1,2),证明了 |S~2|=k(k-1){S(n,2)+(?)(n-k)(n-k)!((n-k+3)S(k,2)+2)+S(k,2)(n-k)!}+k(k-1)(?){S(k,2)[(i+1)S(n-k+1,i+2)+S(n-k+1,i+1)]+(i+1)S(n-k+1,i+2)}


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