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《云南大学》 2012年
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亚本原转换群

刘哲  
【摘要】:本文主要研究了置换群论中的亚本原置换群。此外,完全分类了四次自由阶的本原置换群,并得到了秩4的非本原置换群的一些性质。 一个置换群G≤Sym(Ω)称为亚本原置换群(meta-primitive perrmtation group),如果对于Ω上的每个G-不变划分B,G在召上诱导的置换群GB都是本原的。本原置换群可以视为亚本原置换群的平凡例子,即亚本原置换群可以看成本原置换群的自然推广。亚本原置换群包含许多重要的群类,如:秩3的非本原置换群,二部本原置换群,次数为两个互异素数乘积的传递置换群等。此外,容易证明:任意一个非本原置换群都有一个亚本原的商作用(即诱导一个亚本原置换群)。这些观察使得亚本原置换群的刻画成为了一个很有意义的研究课题。 众所周知:本原置换群有著名的O'Nan-Scott定理,这个定理此后又被C.E.Praeger(1993年)拓展到拟本原置换群上。通过分析本原置换基柱(socle)的结构和作用,O'Nan-Scott定理将本原置换群分为了八种类型,并成为了置换群及其相关问题的研究中最重要也是最有力的工具。本文通过对亚本原置换群的极小正规子群的研究,在亚本原置换群上建立了与本原置换群上的O'Nan-Scott定理类似的理论,这个理论可以视为亚本原置换群上的O'Nan-Scott定理的推广。我们相信这个理论将会在许多相关问题的研究中发挥重要作用。此外,我们对发现的亚本原置换群的每种类型都构造了例子。 设G为Sym(Ω)上的置换群。如果不存在素数p,使得p4整除|G|,则称G为四次自由阶群。利用O'Nan-Scott定理,本文完全分类了四次自由阶的本原置换群。作为这一分类结果在代数图论中的一个应用,我们在另一文章中确定了所有具有四次自由阶2-弧传递基图。 最后,我们对秩4的置换群进行了一些研究。设G≤Sym(Ω)为一个传递置换群,对α∈Ω,G的点稳定子群Gα:={g∈G|αg=α}在Ω上的每个轨道称为G的一个次轨道,置换群G在Ω上次轨道的个数称为G的秩(rank).易知:一个传递置换群的秩为2的充分必要条件是这个群为2—传递置换群。经过包括M.W.Liebeck,J.Saxl,C.E.Praeger和李才恒等众多著名数学家多年的研究,终于得到了秩3的非本原置换群的完全分类。本文在这些工作的基础之上,得到了秩4的非本原置换群的一些刻画。对秩4的置换群进行进一步的、深入的研究,将是我们今后一个重要的研究课题。
【学位授予单位】:云南大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O152.1

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