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《昆明理工大学》 2013年
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几类非线性方程的行波解研究

贺天兰  
【摘要】:分数阶、整数阶非线性偏微分方程是描述自然现象的最基本原理的重要数学模型之一。其行波解的求解和定性行为研究,将有助于掌握系统运动状态的变化规律。 本文以源于物理问题的几类非线性分数阶、整数阶偏微分方程为研究对象,得到了这些非线性数学物理方程的一些行波解的参数表示以及定性行为,揭示了这些非线性模型蕴涵的丰富的动力学性质。针对几类分数阶偏微分方程,提出了基于时空尺度不变行波解的齐次原理,并用于具体方程的求解;对整数阶方程而言,针对具有正则行波系统的一类偏微分(Konopelchenko-Dubrovsky)方程,用平面动力系统分支理论得到了有界行波解的参数表示与分支行为;针对具有奇异行波系统的一类给定的杆方程,用李继彬教授提出的基于平面动力系统分支理论的“三步法”,得到了一定参数条件下的扭波解、周期波解和一些无界行波解的表不。 全文分为五章: 第一章是绪论和预备知识。本章主要分为两个部分,第一部分介绍分数阶微分方程的相关背景知识。综述了分数阶微积分的发展历史、基本理论、在非线性科学中的应用举例以及分数阶偏微分方程求解的研究现状。第二部分介绍了基于正则系统和奇异系统的整数阶非线性偏微分方程行波解研究的动力系统方法。 第二章是几类分数阶非线性方程的时空尺度不变行波解研究。本章首先基于求具有时空尺度不变性的行波解而提出了一个基本原理,即齐次原理。再把该原理应用于推广的分数阶Benjamin-Ono方程和等离子体中推广的分数阶Zakharov-Kuznetsov方程,得到了一定参数条件下其由幂函数表示的具有时空尺度不变性的行波解。 第三章利用平面动力系统分支理论研究了Konopelchenko-Dubrovsky方程的有界光滑行波解:孤立波解、扭波(反扭波)解、周期波解。得到了这些解存在的参数条件及其12个显式表示。 第四章研究了计入横向惯性效应后非线性弹性杆的纵波运动方程的行波解,用基于平面动力系统分支理论的“三步法”得了原系统在一定参数条件下的扭波解、周期波解和一些无界行波解的表达式52个。从讨论中发现,随着杆材料的非线性增强,杆的纵向波动的动力学行为就越复杂。 第五章对本文的工作进行了总结,并对今后的研究方向作了展望。
【学位授予单位】:昆明理工大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2013
【分类号】:O175.29

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