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一类非线性发展方程(组)初值问题的定性理论

张颖  
【摘要】:广义地说,非线性发展方程描述物理学及其他科学领域中随时间演变的状态或过程,是依赖于时间变量t的许多重要的非线性偏微分方程的统称.从数学,物理,生物,力学等自然科学分支中提出的许多问题,最后都可以归结为一个非线性发展方程问题.非线性发展方程定性理论的研究是非线性发展方程研究领域的一个基本问题.对这个问题的研究,在理论和应用上都有重要的意义.本文主要讨论几个非线性发展方程(组)初值问题的定性理论.全文的主要内容安排如下: 第一章是绪论.我们简单介绍了模型的背景,本文的研究内容和研究结果,最后还给出了一些常用的不等式. 第二章我们研究了两分量μ-Camassa-Holm方程组的周期柯西问题及行波解.利用Kato抽象拟线性演化方程理论和先验估计证明了整体强解的存在性,以及在一定的条件下,强解在有限时间的blow-up.最后我们还得到了该模型的光滑行波解. 第三章我们主要讨论了一个广义周期两分量μ-Camassa-Holm方程组初值问题的整体弱解的存在性.在给出了该问题对应于光滑逼近初始值的强解的整体存在性的基础上,证明上述所得逼近解的极限即为该广义两分量周期的μ-Camassa-Holm方程组在时间上的整体弱解. 第四章我们研究了具有三次非线性项的修正μ-Camassa-Holm方程的尖峰孤子解的稳定性.通过构造一个适当的Lyapunov泛函,我们证明了在能量空间H1(S)中,修正μ-CH方程的单尖峰孤子解是轨道稳定的. 第五章我们考虑一个新的广义两分量Camassa-Holm方程组.该模型是从经过线性切流的浅水波的理论机制中推导得到的.我们给出了使得其相应周期初值问题强解产生爆破的一个新的条件,重点研究了其强解的持久性,并且给出了强解的唯一连续性. 第六章我们对三分量的Camassa-Holm方程做了一些简单阐述,并对后续研究做了进一步的展望.


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