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基于q-多项式方法的循环码研究与构造

刘珂  
【摘要】:循环码是一类重要的线性码,在电子、通信等领域也有着重要应用,对循环码的研究与构造十分有意义。近年来,专家学者对循环码进行了很多深入研究,获得了大量优秀的研究成果。2013年,丁存生等学者首次提出了研究与构造循环码的q-多项式方法,这种新的方法对研究和构造好的循环码十分有益。本文将基于q-多项式方法进一步研究和构造好的循环码,并定义循环码的另一种q-多项式方法。具体研究结果如下:1.令p为素数,q为素数p的方幂,t为正整数,N为qt-1的一个正因子,且(qt-1)+N(qj-1),(?)1≤j≤t-1.通过取不同的N值,构造了几类长度为n =(qt-1)/N,维数为k=n-t 的循环码,并且对这类循环码的最小Hamming距离进行了分类,得到了几类几乎最佳循环码和最佳循环码。2.设λ是GF(q)上线性空间GF(qn)中的一个非正规元,α为GF(q)上线性空间GF(qn)中的的一个正规元,(?)b =(b0,b1,…,bn-1)∈ GF(q)n,令ψλ:GF(q)n→GF(qn)n-1 b→n-1 ∑ i=0 biλqi,i=0 Im(ψλ)={ψλ(b):b ∈ GF(q)n},将C(n,a,ψλ)= {(c0,c1,…,cn-1)∈ GF(q)n:c = n-1 ∑ i=0 ciaqt ∈ Im(ψλ)}称为(λ,α)型q-多项式码,并说明了C(n α,ψλ)是GF(q)上长度为n的循环码,且任一GF(q)上长度为n的循环码C都可以表示为C(n,a,ψλ).


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