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Loop代数上的推广Toda力学系统研究

朱桥  
【摘要】:多体力学系统相互作用是继两体问题之后理论力学领域的又一热点问题。因为它与诸如长程相关、非线性波的传播以及反散射方法等多个领域的问题相关,所以长期以来一直为理论物理学家和数学家所关注,并有着突破性的进展:大量一维精确可解多体系统被发现,其中著名的有Toda链,Calogero-Moser模型和Ruijsenaars-Schneider模型。 Toda模型由开始只考虑多体间的近邻相互作用,后经候伯宇和赵柳等人研究了次近邻相互作用,得到了不断的推广。刘王云等又以经典李代数为背景,对一维对称Toda链进行研究。他们在总结原始Toda晶格Lax矩阵的数学性质的基础上,在对称的L矩阵中引入更多的非对角变量,将Toda晶格推广至准长程相互作用的情形,给出精确求解的办法。而与经典李代数情形相比,以Loop代数为基础的多体力学系统更具现实意义。这是因为以Loop代数为基础的Toda理论的Lax矩阵谱曲线与Seiberg-Witten理论中四维超对称规范理论的模参数所生成的椭圆曲线相一致,从而为我们从可积系统中得到四维超对称规范理论的模参数和预势提供了一种方法。基于这一点,我们构造Loop代数上的Toda力学系统就具有很重要的物理意义。 本文第一章为引言。第二章为基础知识部分。第三章对Loop代数L(D_r)上具有长程相互作用的Toda力学系统进行推广,用一组有序整数对(X,Y)来表示Toda链,构造出Loop代数L(D_r)的Lax Pair L和M,其中,L=L_0+L_++L_-,M=L_+-L_-。L_0是卡当部分,L_+是正根部分,L_-是负根部分。并给出了系统在X,Y≤3情况下的运动方程,哈密顿结构及泊松括号。其中,同一Loop代数L(D_r)上的(X_2,Y_2)Toda链可由(X_1,Y_1)Toda链(X_2X_1,Y_2Y_1)通过nested约化的方式得到。在此模型中,标准的Toda变量之间和附加的坐标变量之间的泊松括号都非零,部分附加的坐标变量之间的泊松结构构成李代数。由于本文的泊松括号是根据哈密顿方程直接设定的,所以我们还验证了这些设定的泊松括号和用(?)矩阵经过{L(?),L}=[(?),L(?)1+1(?)L]导出的结果一致。第四章,给出Loop代数的另一种Toda系统,其中,我们限定M是反对称矩阵,而L=L~++M,L~+是准上三角矩阵(包括对角部分),在这种系统中我们可以将Lax方程(?)=[M,L]的求解问题转化为一个正则Riemann-Hilbert问题,在特定的初值条件下系统是可积的,我们给出一个实例求解这一问题,得到了精确解。


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