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《西北大学》 2008年
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高维非线性的反应扩散方程以及波动方程的不变集和精确解

屈改珠  
【摘要】: 非线性现象广泛地呈现在物理、化学、生物、社会、经济等领域,随着科学的发展,对非线性系统的研究日趋深入,而对于描述非线性系统中非线性方程的求解则成为研究者的重要课题之一。目前来说,求解非线性方程并没有统一的方法,但是经过几十年的研究和探索,对某一类非线性方程,人们已经找到了一些求解非线性方程的方法。 本文的目的是利用不变集的方法来求高维非线性的反应扩散方程及波动方程的精确解。我们首先通过建立函数不变集E_0={u:u_x=f(t)w_xF(u),u_y=f(t)w_yF(u),u_z=f(t)w_zF(u)}来研究3+1维带有源项的反应扩散方程u_t=A_1(u)u_(xx)+A_2(u)u_(yy)+A_3(u)u_(zz)+B_1(u)u_x~2+B_2(u)u_y~2+B_3(u)u_z~2+Q(u);其次通过引入函数不变集S_2={u:u_x=v_xF(u),u_y=v_yF(u)}我们也对2+1维波动方程u_(tt)=A(u)u_(xx)+B(u)u_(yy)+C(u)u_x~2+D(u)u_y~2+Q(u)做了讨论,得到了它们的一些精确解,其中w(x,y,z),v(x,y)分别是关于x,y,z和关于x,y的光滑函数,F(u)是要被确定的光滑函数,A_1(u),A_2(u),A_3(u),B_1(u),B_2(u),B_3(u),A(u),B(u),C(u),D(u),Q(u)均为u的光滑函数。我们还进一步把E_0推广用于N+1维反应扩散方程,同时利用S_2,我们对N+1维波动方程也做了一些讨论。
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