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19世纪以前的变分法

贾小勇  
【摘要】: 变分法是研究泛函极值的数学分支,它不仅与数学中众多分支联系紧密,而且也为物理学提供了重要的原理,同时又有着十分广泛的应用,凶此,对其历史进行研究,具有极为重要的理论价值和现实意义。本文在查阅大量原始文献和相关研究文献的基础上,利用文献分析和比较研究方法,以“为什么数学”为切入点,结合微积分学、物理学(特别是变分原理)以及几何学等背景,对变分法的起源和创立进行了系统分析和研究。主要成果如下: 1.围绕古典等周问题和早期“最小”观念两条线索,首次在较宽视野下对变分法前史进行了系统的考察和梳理,并从问题表述和比较类选取的角度,探讨了早期几何方法的局限性。 2.通过考察牛顿最小阻力体问题、约翰·伯努利最速降线问题和雅可布·伯努利等周问题等问题的提出过程及解决方法,深入探究了变分法诞生的深刻背景,提炼和概括出了伯努利兄弟和泰勒等先驱者解决变分问题的基本思想和求解模式,追溯了其微积分渊源,并分析了三位先驱者之间的变分法思想传承及相互影响。 3.对欧拉早期受到忽视的三篇论文进行了详细的考察,探讨了欧拉对变分法所做的核心贡献——基本方程和等周法则的提炼和形成过程。通过对欧拉与伯努利兄弟和泰勒等人的解法进行比较和分析,揭示了欧拉对变分法一般性研究的背景、切入点、思想来源和演变;通过对欧拉所犯错误的原因及其影响进行深入分析,指出《技巧》一书并不仅仅是欧拉对早期研究的系统总结和改进,还包含着某种突破和变革。 4.对欧拉变分法的一般理论进行了细致的考察。探讨了欧拉的基本方程不变性思想,认为这一思想是当时分析学研究对象变革的集中体现;对两个具有争议的问题进行了澄清;对欧拉变分法的局限性进行了分析和总结,由此揭示了拉格朗日变分法研究的数学背景。 5.考察了欧拉变分法的力学应用,特别是他在最小作用原理方面的工作,揭示了其变分法研究的力学背景以及对后来拉格朗日力学和变分法研究的影响。 6.深入细致地分析了拉格朗日对变分法所做的变革和发展:(1)通过比较欧拉方法和拉格朗日方法,探讨了拉格朗日变分方法——δ-方法提出的动因;(2)详细论述了拉格朗日早期对变分法发展所作的重要贡献;(3)探究了拉格朗日δ-方法由非参数形式向参数形式转变的原因。 7.从变分法的角度出发,探讨了拉格朗日关于力学基础和力学分析化的研究,由此揭示了拉格朗日变分法研究的力学动机以及力学(特别是变分原理)对变分法发展的推动作用。 8.结合拉格朗日微积分代数化方案和18世纪可积性条件的研究,探讨了拉格朗日关于变分法基础研究的数学背景及相关工作;通过对《分析力学》中静力学约束平衡问题的细致考察,系统探讨了变分法中乘子法则的力学渊源、提出过程及意义。


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