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《西北大学》 2008年
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19世纪以前的变分法

贾小勇  
【摘要】: 变分法是研究泛函极值的数学分支,它不仅与数学中众多分支联系紧密,而且也为物理学提供了重要的原理,同时又有着十分广泛的应用,凶此,对其历史进行研究,具有极为重要的理论价值和现实意义。本文在查阅大量原始文献和相关研究文献的基础上,利用文献分析和比较研究方法,以“为什么数学”为切入点,结合微积分学、物理学(特别是变分原理)以及几何学等背景,对变分法的起源和创立进行了系统分析和研究。主要成果如下: 1.围绕古典等周问题和早期“最小”观念两条线索,首次在较宽视野下对变分法前史进行了系统的考察和梳理,并从问题表述和比较类选取的角度,探讨了早期几何方法的局限性。 2.通过考察牛顿最小阻力体问题、约翰·伯努利最速降线问题和雅可布·伯努利等周问题等问题的提出过程及解决方法,深入探究了变分法诞生的深刻背景,提炼和概括出了伯努利兄弟和泰勒等先驱者解决变分问题的基本思想和求解模式,追溯了其微积分渊源,并分析了三位先驱者之间的变分法思想传承及相互影响。 3.对欧拉早期受到忽视的三篇论文进行了详细的考察,探讨了欧拉对变分法所做的核心贡献——基本方程和等周法则的提炼和形成过程。通过对欧拉与伯努利兄弟和泰勒等人的解法进行比较和分析,揭示了欧拉对变分法一般性研究的背景、切入点、思想来源和演变;通过对欧拉所犯错误的原因及其影响进行深入分析,指出《技巧》一书并不仅仅是欧拉对早期研究的系统总结和改进,还包含着某种突破和变革。 4.对欧拉变分法的一般理论进行了细致的考察。探讨了欧拉的基本方程不变性思想,认为这一思想是当时分析学研究对象变革的集中体现;对两个具有争议的问题进行了澄清;对欧拉变分法的局限性进行了分析和总结,由此揭示了拉格朗日变分法研究的数学背景。 5.考察了欧拉变分法的力学应用,特别是他在最小作用原理方面的工作,揭示了其变分法研究的力学背景以及对后来拉格朗日力学和变分法研究的影响。 6.深入细致地分析了拉格朗日对变分法所做的变革和发展:(1)通过比较欧拉方法和拉格朗日方法,探讨了拉格朗日变分方法——δ-方法提出的动因;(2)详细论述了拉格朗日早期对变分法发展所作的重要贡献;(3)探究了拉格朗日δ-方法由非参数形式向参数形式转变的原因。 7.从变分法的角度出发,探讨了拉格朗日关于力学基础和力学分析化的研究,由此揭示了拉格朗日变分法研究的力学动机以及力学(特别是变分原理)对变分法发展的推动作用。 8.结合拉格朗日微积分代数化方案和18世纪可积性条件的研究,探讨了拉格朗日关于变分法基础研究的数学背景及相关工作;通过对《分析力学》中静力学约束平衡问题的细致考察,系统探讨了变分法中乘子法则的力学渊源、提出过程及意义。
【学位授予单位】:西北大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2008
【分类号】:O11

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【引证文献】
中国博士学位论文全文数据库 前2条
1 贾随军;傅立叶级数理论的起源[D];西北大学;2010年
2 王昌;点集拓扑学的创立[D];西北大学;2012年
【参考文献】
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4 潘轺湘;只是发现权之争吗?—也谈最小作用量原理之争[J];力学与实践;1995年02期
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中国博士学位论文全文数据库 前4条
1 尚宇红;博弈论前史研究[D];西北大学;2003年
2 邓明立;有限域思想的历史演变[D];河北师范大学;2004年
3 赵继伟;《大术》研究[D];西北大学;2005年
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【共引文献】
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10 徐际宏;;20世纪数学的一项开创性的伟大成就[J];安徽师范大学学报(自然科学版);2008年04期
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1 金雅芬;;科学与人文怎样融合——在数字博物馆设计中的思考[A];创意科技助力数字博物馆[C];2011年
2 许文骏;;略论明代后期的造物艺术思想[A];新世纪美学与艺术——江苏省美学学会第七届会员大会暨学术研讨会论文集[C];2011年
3 申向东;韩克平;;农业机械化学科研究生高等工程力学教学内容探讨[A];世纪之交的力学教学——教学经验与教学改革交流会论文集[C];2000年
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7 杨晖柱;张其林;;大型平面钢桁架翻身吊装过程的计算机仿真[A];中国钢结构协会成立二十周年庆典暨2004钢结构学术年会论文集[C];2004年
8 王;;信息技术在接受学习模式中的应用[A];教育技术:信息化阶段新发展的研究[C];2007年
9 赵福垚;李颖;;牛顿第一定律表述形式浅析[A];中外力学思维纵横——第四届全国力学史与方法论学术研讨会论文集[C];2009年
10 周先东;马翠;;最速降线问题的一种新解法[A];第一届中国智能计算大会论文集[C];2007年
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1 郭庆勇;非保守系统Fourier卷积型拟变分原理研究及应用[D];哈尔滨工程大学;2010年
2 周平;柔体动力学初值问题拟变分原理及其应用[D];哈尔滨工程大学;2010年
3 朱新春;莱布尼茨自然有机论研究[D];中国科学技术大学;2010年
4 刘自学;论政治哲学范式的演进[D];南开大学;2010年
5 丁可;艺舟双辑:理性与直觉[D];中央美术学院;2011年
6 赵斌;生物数学的起源与形成[D];西北大学;2011年
7 李静;基于多元表征的初中代数变式教学研究[D];西南大学;2011年
8 宫丽艳;天津市塘沽区域教育政策个案研究[D];华东师范大学;2011年
9 曹荣荣;理工科大一学生高等数学思维的研究[D];华东师范大学;2011年
10 阎晨光;李群早期发展的历史研究[D];河北师范大学;2011年
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1 宋浩;民族性与比较科学哲学[D];哈尔滨师范大学;2010年
2 于艳红;数学思想方法及其在微积分教学中的运用研究[D];辽宁师范大学;2010年
3 苏韩;逆威布尔分布的Bayes估计问题[D];广西师范学院;2010年
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5 冯婷婷;一类非线性抛物型方程解的多重性[D];大连理工大学;2010年
6 王砚;感性与理性之浮沉[D];辽宁师范大学;2010年
7 孙茜;数学游戏大师——马丁·加德纳[D];辽宁师范大学;2010年
8 张岩;中学物理探究课的设计与实施[D];辽宁师范大学;2010年
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10 黄娟;贝克莱的自然哲学和科学哲学思想研究[D];湘潭大学;2010年
【同被引文献】
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1 贾随军;;函数概念的演变及其对高中函数教学的启示[J];课程.教材.教法;2008年07期
2 阎晨光;邓明立;;黎曼的几何思想及其对相对论的影响[J];科学技术与辩证法;2009年03期
3 桂质亮;傅立叶与19世纪早期法国数学物理学[J];科学技术与辩证法;1997年02期
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6 贾随军;任瑞芳;;欧拉对函数概念的发展[J];西北大学学报(自然科学版);2008年03期
7 曲安京;中国数学史研究范式的转换[J];中国科技史杂志;2005年01期
8 李文林;西方数学社会史研究述评[J];自然辩证法通讯;1985年03期
9 李文林;;算法、演绎倾向与数学史的分期[J];自然辩证法通讯;1986年02期
10 纪志刚;分析算术化的历史回溯[J];自然辩证法通讯;2003年04期
中国博士学位论文全文数据库 前7条
1 尚宇红;博弈论前史研究[D];西北大学;2003年
2 邓明立;有限域思想的历史演变[D];河北师范大学;2004年
3 任辛喜;偏微分方程理论起源[D];西北大学;2005年
4 王全来;对E.Borel在函数论的几个工作研究[D];西北大学;2006年
5 孙庆华;向量理论历史研究[D];西北大学;2006年
6 胡俊美;有限单群分类的历史研究[D];河北师范大学;2009年
7 吕世虎;中国当代中学数学课程发展的历程及其启示[D];东北师范大学;2009年
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1 武娜;傅里叶级数的起源和发展[D];河北师范大学;2008年
【二级引证文献】
中国期刊全文数据库 前1条
1 贾随军;贾小勇;李保臻;;从泛音的发现到傅立叶级数理论的建立[J];自然辩证法研究;2011年07期
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1 聂淑媛;时间序列分析的早期发展[D];西北大学;2012年
【二级参考文献】
中国期刊全文数据库 前7条
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4 曲安京;中国数学史研究范式的转换[J];中国科技史杂志;2005年01期
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2 山东省水利职业学院 杜守建 郭传金;水资源优化配置 调度技术与方法简论[N];中国水利报;2002年
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1 贾小勇;19世纪以前的变分法[D];西北大学;2008年
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1 李响;带阻尼的非线性Duffing方程的概周期解[D];中国海洋大学;2005年
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