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常微分方程理论的形成

任瑞芳  
【摘要】: 常微分方程理论从创立至今已有300多年的历史了,作为一门理论意义和实际应用并重的学科,现已与其他学科不断交叉融合形成一些新的分支和增长点。本文在前人研究的基础上,利用历史分析、比较研究的方法,兼顾思想内容和具体方法,对常微分方程理论的形成进行研究,主要成果为: (1)考察了微分方程理论产生的社会、生产和科学背景,分析了17世纪力学、物理学、几何学和声学等自然科学与数学的紧密结合对微分方程学科萌芽的刺激作用。 (2)深入探究了常微分方程在微积分创立过程中的原始形态和研究状况。牛顿是第一位开始求解微分方程的数学家,莱布尼茨则首次提出数学名词“微分方程”。本文重点考察了牛顿首创的级数法和他最先提出并应用于三体问题求解的参数变易思想,剖析了莱布尼茨解决与曲线有关的问题过程中微分三角形与微分方程的巧妙联合。指出:正是这些工作使微分方程从微积分研究中初露端倪,预示它即将作为一门新的分析分支登上数学舞台。 (3)集中论述了17、18世纪数学史上兴起的五大公开挑战问题在常微分方程理论起源中的重要作用,分别指出:等时问题的提出使“积分”第一次被赋予数学意义而开始使用于微分方程求解;悬链线问题标志着探寻微分方程求解技术的发端;双曲线积分的成功表示从形式到实质上推进了求解技术的提高;最速降线问题是微分方程思想成功运用的最好范例;正交轨线问题增强了微分方程研究的理论色彩。 (4)系统分析了常微分方程从微积分中分离的过程,对求解一阶特殊类型微分方程各种特殊解法的形成进行溯源,指出:从伯努利时代起,微分方程开始被作为独立的对象进行研究,微分方程学科逐步从微积分中分离出来,并为理论的形成作出铺垫。 (5)对常微分方程理论的最终形成进行了深入研究,探讨了18世纪常微分方程研究模式发生的转变及其与常微分方程理论形成的关系,明确提出了常微分方程理论形成的标志。本文认为:刺激微分方程理论形成的关键表现在四个方面:欧拉在1728年着手处理的降阶问题、克莱洛在1734年深入研究的奇解问题、拉格朗日发现的伴随方程以及1743年对常系数线性微分方程求解的突破;1740年后,微分方程的研究转向寻求满足一整类方程通解的方法;18世纪末,研究重点又从求通解转向考虑“定解问题”。本文对证明存在性定理的三种方法形成的历程作了详细论述,提出了存在性定理的诞生是常微分方程理论形成的标志。 (6)对常微分方程存在性定理形成后的理论扩展作了研究;分5个时期考察了鸦片战争到建国十年来我国微分方程理论的传播和发展情况,对每一时期主要的传播途径作了详细考察。


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