关于时滞反应扩散方程组和Navier-Stokes方程解的性质的研究

【摘要】：反应扩散方程和Navier-Stokes方程在物理,应用数学,化学,生物学,经济学及许多工程问题中有着非常广泛的应用.然而,线性反应扩散方程不能描述化学,生态学及人口动力学等领域中出现的时间滞后现象,为了研究此现象,我们推导出了新的模型—时滞反应扩散方程组,研究了当扩散系数很小时解的长时间行为及扩散和时滞的影响,并证明了在一定条件下系统行波解的存在性,在一定条件下解决了时滞反应扩散方程组的行波解是否存在的公开问题.同时我们注意到以Navier-Stokes方程作为控制方程的流体力学等工程领域中往往要处理流体粘性系数很小(即雷诺数很大)的情况,而此时的Navier-Stokes方程解的性质非常复杂,无论是理论方面还是计算方面都有许多尚未解决的问题.本文我们针对Stokes方程和Navier-Stokes方程给出了新的稳定化有限元方法—稳定化多尺度有限元方法,并证明了其具有最优阶逼近,数值算例证实了此算法对粘性系数很小的Navier-Stokes方程是有效的. 本论文共分六章:第一章主要叙述了研究的背景与意义及论文的主要创新工作,最后一章作了一些总结和对未来工作的展望,第二章至第五章是本文的主体部分,其具体内容为: 第二章首先推导出了一类时滞反应扩散方程组,接着利用比较原理和正性引理证明了其解的局部存在性及有界性,用线性化方法分析了其常数平衡解的局部稳定性,用上下解方法证明了全局稳定性,研究了扩散系数很小时的时滞反应扩散方程组的整体解的长时间行为,分析了扩散项和时滞对解的渐近行为的影响:当扩散系数很小时,扩散对解没有影响;当扩散系数较大时,会产生一定的影响,但可以通过控制系统参数消除此影响. 第三章推导出了一类新的非局部反应扩散方程组,并针对奇异和非奇异两种情况分别研究了其平衡解的局部和全局渐近稳定性及行波解的存在性,首先证明了非奇异非局部反应扩散方程组行波解的存在性,证明的主要思路是先找到原系统的一致逼近的近似系统,然后用上下解方法证明近似系统的单调正解存在.在一定条件下解决了时滞反应扩散方程组的行波解是否存在的公开问题;并把证明行波解的存在性的方法推广到了奇异非局部的情况; 第四章研究了2维或3维的Stokes方程的稳定化有限元方法,改进了基于泡函数的稳定化有限元方法,给出了稳定化多尺度有限元方法,研究了P1 ? P0元的inf-sup稳定性,并证明了稳定化多尺度有限元方法是最优阶逼近的,即误差在H 1模意义下可达到O ( h )而在L2模意义下可达到O ( h 2). 第五章用稳定化多尺度有限元方法研究了2维定常Navier-Stokes方程逼近解,分析了P1 ? P0元及非协调P1 ? P0元的inf-sup稳定性,证明了对Navier-Stokes方程是最优阶逼近.文中还给出了数值算例,表明此法对粘性系数很小的2维定常Navier-Stokes方程也是有效的.