粘弹性Oldroyd流体运动方程有限元方法的长时间稳定与误差估计

【摘要】：粘弹性Oldroyd流体运动方程是一类典型的非牛顿流体运动模型.它一般被用来描述聚合物流体,生物流体和悬浊液等的流动现象.在形式上,粘弹性Oldroyd流体运动方程可以看成是Navier-Stokes方程的一个积分扰动问题.正是这个积分扰动项使得该模型不同于牛顿流体运动方程.它既继承了Navier-Stokes方程的很多性质,又具有记忆性等非牛顿流体所具有的性质.与Navier-Stokes方程相比,该模型形式更加复杂,性质更加多样,对它的研究还相当有限,关于数学理论方面的研究,还有着极大的发展空间.首先,就该问题的数值逼近研究而言,现有的文献都只讨论了该问题的半离散格式(空间半离散格式或时间半离散格式),特别是关于问题时间离散格式的研究更是非常有限,所以该模型的数值分析还有待进一步丰富.并且现有的研究文献中还没有出现有关粘弹性Oldroyd流体问题的数值算例,已有的数值分析结果没有得到很好的验证.其次,考察问题离散格式的长时间行为也是一个很有意义的研究方向,它能更好的检验数值格式的性能,完备数值分析理论.对于非定常Navier-Stokes方程,现在关于它的数值方法的研究一般都只分析了有限时间区域,对问题的长时间行为的考察却相对较少.怎样证明非线性流体问题的逼近解在长时间情况下的稳定性与误差估计是一个很有意思的研究领域.另一方面,研究粘弹性Oldroyd流体运动方程数值解的渐近行为,考察和模拟它与Navier-Stokes方程这两种不同运动模型之间的渐近关系等也具有重要意义.现有的渐近行为方面的研究主要针对问题的连续情况.那么当问题被离散时,它的渐近行为会怎样呢?这方面的研究结果同样还很少. 本文的研究主要分为以下几个部分?:首先,在第三章,我们将问题的数值分析推广到了全离散有限元格式.通过对时间区域采用分段处理,利用能量模技巧,我们得到了数值解的一致稳定与误差估计结果.在第三章的末尾,我们第一次给出了该模型的数值模拟结果.这些结果不但很好的验证了理论推导的正确性,而且定性的给出了粘弹性Oldroyd流体运动方程与Navier-Stokes方程之间的差别.接着,在第四章中,我们考虑了当粘弹性系数或松弛时间很小时,粘弹性Oldroyd流体运动问题的渐近行为.结果表明,当这些参数趋于零时,粘弹性Oldoryd流体方程会收敛于Navier-Stokes方程.并且我们给出了模型间关于时间一致成立的最优渐近误差估计.该误差定量的反映了这两种不同流体运动模型间的差别.进一步,基于第三章建立的全离散有限元逼近解的一致稳定性,我们将这种渐近分析推广到了问题的离散格式,得到了与连续情况下相似的渐近误差界.其次,在文章的第五章中,我们研究了当时间趋于无穷大,流体所受外力收敛于一个定常力时问题的渐近行为.在较已有文献更弱的假设前提条件下,我们给出了用外力显示表达的误差界,这样的估计结果更好的反映了流体在这种假设条件下趋于定常状态的变化规律.同样,我们研究了离散情况下问题的这种渐近行为,证明了与连续问题相似的渐近误差界,最后给出的算例验证了理论推导的正确性.作为求解不可压缩流体问题的经典解耦方法,在第六章中,我们考虑了粘弹性Oldroyd方程的罚方法.利用Helmhotz分解,构造过度问题对原问题的误差进行分裂等技巧,我们得到了它的关于时间一致成立的最优误差估计.进一步,我们分析了问题罚系统的有限元全离散格式,得到了速度的H1模最优误差界,并给出了很多算例来验证数值分析的正确性.最后,在本文的第七章中,我们给出了下一步的工作展望.在今后的研究中,我们可以继续考察问题的高阶时间离散格式,非光滑初值条件以及其它高效数值算法等.