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隐式代数曲线在CAGD中的性质及应用研究

秦洪元  
【摘要】: 在计算机辅助几何设计(Computer aided geometrid design)领域中,熟知有两种定义曲线曲面的方法,参数形式及隐式形式。参数形式以其构造简单,计算容易等特点而流行于世并成为几何设计的主流,然而近20年的研究与使用经验表明隐式形式也有参数形式无法比拟的优点,本文仅就隐式曲线在计算机辅助几何设计中应用及性质进行了分析和研究。其主要结果如下: 本文首先对隐式曲线研究的现状、主流和趋势等作了总的概述。在此基础上对近20年来隐式曲线在计算机辅助几何设计中的应用及各种隐式形式的曲线特点进行了总结和评价。 本文在对插值一类几何约束的隐式代数曲线的构造基础上,给出了这样的隐式三次代数曲线二阶几何连续光滑拼接的条件,并给出了实验结果。理论分析及实验结果表明这样的拼接仍有一个相应的自由度,能对曲线形状进行调节,以达到较好的设计效果。 根据G~(n-1)函数样条(G~(n-1)-functional spline)曲线的思想,本文对正方形四顶点采用三次隐式代数曲线进行插值构造出二阶几何连续光滑封闭曲线,利用这种方法,通过适当地选择基曲线,可以在不引入任何控制点的情况下,使设计出的三次隐式曲线在插值节点处具有要求的曲率,并且仍然有一个自由参数可以对曲线形状进行调整,因此具有较好的性质。 本文在参—参曲面交线基础上,详细推导了隐—隐形式两曲面空间交线的微分几何性质,这些性质包括截交及切交下的切矢,曲率矢以及高阶导矢等。这些性质的给出将有利于空间隐式曲线在造型中的进一步研究。


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