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相空间重构、分叉及经济系统吸引子分析

王妍  
【摘要】: 在自然和社会中存在的大量非线性系统,许多系统的内部结构并不清楚,而其外部特性通常只能是某个单变量的时间序列。因而处理单变量时间序列并由此分析原系统的动力学特征是非线性系统分析的重要工作。 混沌现象是自然界广泛存在的一种不规则运动,是一种由确定的非线性动力系统生成的复杂行为。相空间重构是用动力学方法分析非线性时间序列的基础,而相空间重构的关键是其参数的选取。运用混沌理论对经济数据进行分析的意义在于通过这个过程可以更清晰的认识某些经济系统如证券市场的运行规律,更好地加强对各种经济金融市场的调控管理。 混沌时间序列对初值敏感,具有混合性及拓扑传递性,即初值的微小扰动将以指数倍数被放大,所以混沌时间序列难于预测。但是混沌系统是由非线性动力机制决定的确定性系统,貌似随机运动的混沌系统内部存在确定性规律,所以混沌时间序列是短期可预测的。 主要完成了以下工作: 1.论文介绍混沌时间序列、相空间重构等基本概念,采用K-L变换改进了延迟坐标状态空间法,对Lorenz系统等经典混沌时间序列和经济时间序列进行了深入的分析,得到某些经济系统的混沌吸引子。通过数值仿真说明了现有的混沌时间序列预测方法的预测性能。首先讨论了相空间重构理论及现有的相空间重构方法,然后讨论了用高阶统计量估计嵌入维数的方法,分析了用四阶累积量构造矩阵的多种方法,得到了一种较好的方法,仿真结果验证了该方法的有效性及稳定性。 2.论文主要采用了延迟坐标状态空间的相空间重构法。采用这种方法重构相空间的关键是选择合适的嵌入维数和延迟时间。并对这两个参数的选择做了大量的理论分析,论述了选择参数的各种方法的主要原理和优缺点,编制了实现这些方法的程序,并且进行了实证。 在对单变量时间序列用延迟坐标状态空间法进行相空间重构基础上,提出对重构后的相空间再作K-L变换的改进方法。采用这种方法,在保留原信号绝大部分能量的前提下,能够完全去除重构相空间中各个向量之间的相关性,更好地恢复原动力系统的特征,获得更多的信息,并相应的减少了计算量。 3.论文还对刻画非线性系统中吸引子的重要参量—Lyapunov指数和关联维数—做了分析,并借助于自己编制的程序进行计算。为了证明程序的可靠性和准确性,论文还使用一些经典的混沌系统对这些程序进行了验证,结果表明程序计算的实际值和理论值基本一致。这些经典系统有:Lorenz系统、Henon映射和Logistic映射。 现实数据不可避免的被噪声污染,噪声还破坏了混沌时间序列内部结构,因此对实测数据去噪非常重要,尤其在混沌保密通信中针对混沌信号的去噪方法是非常重要的。笔者最后讨论了混沌时间序列的去噪方法,介绍一种假设系统动力学方程未知而只根据混沌序列数据直接去除噪声的迭代算法。 在国内外学者研究工作的基础上,论文根据Rosenstein等人提出的计算最大Lyapunov指数的小数据量方法,研究噪声对混沌时序最大Lyapunov指数的影响。采用将随机数据方法生成的高斯白噪声与混沌系统时间序列叠加的方法,分析了相同信噪比下,数据量和嵌入维数对最大Lyapunov指数的影响;以及不同信噪比下,混沌时序最大Lyapunov指数的变化趋势。结果表明:当加入一定范围信噪比的噪声时,原时序数据的最大Lyapunov指数受到的振动影响很小,这对于实际问题中含有一定程度噪声的经济或金融时序非线性混沌特性的判定具有重要的理论和实际意义。 4.提出了一种新颖的多步预测方法,并把这种新颖的多步预测方法用于改进自适应预测法和局域自适应预测法,仿真结果表明改进后算法的多步预测性能明显提高,这一结果为重新认识混沌的可预测性有重要的理论意义和工程应用价值。 另外,论文还使用多种方法对时间序列建立了预测模型。 5.大量的研究表明股票信号源于混沌系统,具有混沌特性,论文还尝试把混沌时间序列相空间重构理论和预测方法应用于股票数据的分析,得到的多步预测结果好于文献中基于神经网络的方法的多步预测结果。 6.论文的主要研究对象是含有平方项的几种二维平面映射,即: 出现了一维情况中没有的Hopf分叉,这表明系统通向混沌还有另外可能的路径。随着系统控制参数的变化,系统动力学特性表现得非常复杂,即系统不一定非常规则地按照倍周期分叉道路、阵发混沌道路、拟周期道路走向混沌。通过全面深入的研究,发现这类二维混沌映射有两种非常典型的演化模式,并导致两种不同类型的混沌吸引子。在参数变化的过程中出现的周期轨道之间有一定的内在联系。此外,我们还对一维Logistic映射的耦合和二次映射中的阵发混沌进行了研究,对耦合情况下系统出现的新的演化模式进行了分析。研究结果对解释湍流的形成机制有一定的意义。 论文在对非线性时间序列进行了大量论证的基础上,对实际的几种宏观经济数据进行了深入地分析。证明了所采用的经济数据是混沌的,从中寻找出了混沌吸引子;最后,又采用已建好的预测的模型对这几种宏观经济时间序列进行了短期预测。


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