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正则化方法中正则参数的算法研究

邹学文  
【摘要】:从具体的实例入手,描述性地给出了数学物理反问题的一般概念。指出数学物理反问题一般是非线性及不适定问题。为了有效地求解反问题特别是克服不适定这个难点,讨论了吉洪诺夫正则化方法,其基本思想是:用一族与原问题相邻近的适定问题去逼近原问题的解。这一方法在Hilbert空间中更便于理论分析,得到了在Hilbert空间中正则化的一些结果及误差估计,本文还给出了求解反问题的另一种方法:离散正则化方法,先用投影方法将无限维的反问题,近似在有限维空间上,得到一个病态系统,再利用正则化求解该系统。通过分析,可以得到正则化理论和方法的关键是如何构造“邻近问题”而得到正则算子和正则参数、如何决定与原始资料误差水平相匹配的正则参数以及上述工作的数值实现。 关于正则参数的选取始终是一个重要而有魅力的问题。针对这一问题,首次提出了利用遗传算法计算正则参数的基本思想。遗传算法仿照生物进化和遗传的规律,利用复制、交换、突变等操作,使优胜者繁殖,败劣者淘汰,一代一代的重复同样的操作,最终找到最优解或接近最优解。特别是在处理复杂数据和非线性计算上遗传算法具有很强的适应性。本文利用遗传算法结合确定正则参数的准则,提出了具体算法,编制了计算程序,数值模拟结果表明,所得到的正则参数具有很高的精度。特别对于大规模的不适定问题,该方法显示出一定的优越性。克服了传统的迭代法由于初值选取不当及规模很大时难于计算的不足。


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